Fourier-reeks: die geskiedenis en invloed van die wiskundige meganisme vir die ontwikkeling van die wetenskap

Fourier-reekse - hierdie siening na willekeur gekies funksies om die tydperk in 'n ry. In die algemeen, is hierdie oplossing het die uitbreiding element op 'n ortogonale basis. Die uitbreiding van funksies in Fourier-reeks is nogal 'n kragtige instrument vir die oplos van verskeie probleme as gevolg van die eienskappe van die transformasie in die integrasie, differensiasie, sowel as 'n verskuiwing in die argument uitdrukking en konvolusie.

'N Persoon wat nie vertroud is met 'n hoër wiskunde, asook met die werke van die Franse wetenskaplike Fourier, waarskynlik sal nie verstaan wat die "range" en wat hulle doen. Nog hierdie transformasie is nogal stewig gesluit ons lewens. Dit word gebruik nie net wiskunde, maar ook fisici, aptekers, dokters, sterrekundiges, seismoloë, oseanograwe en ander. Laat ons 'n nader kyk met die werke van die groot Franse wetenskaplike wat die ontdekking gemaak, sy tyd vooruit neem ook.

Die man en die Fourier-transform

Fourier-reeks is een van die metodes (saam met analise en ander) van die Fourier-transform. Hierdie proses vind plaas elke keer as 'n persoon hoor 'n geluid. Ons luister vat outomaties die klankgolf. Ossillasie beweging van elementêre deeltjies in 'n elastiese medium is uitgebrei in die reeks (die spektrum) opeenvolgende volume waardes vir skakerings van verskillende hoogtes. Volgende, die brein vat hierdie data in bekende klanke vir ons. Dit alles is in toevoeging tot ons begeerte of bewussyn self nie, maar om die prosesse wat 'n paar jaar neem om hoër wiskunde bestudeer verstaan.

Lees meer oor die Fourier-transform

Die Fourier-transform kan analitiese, syfers en ander metodes word uitgevoer. Fourier-reekse is syferstelsel proses vir ontbindende enige ossillasie prosesse - van die oseaan getye en golwe van die lig te sonkrag siklusse (en ander astronomiese voorwerpe) aktiwiteit. Die gebruik van hierdie wiskundige tegnieke, is dit moontlik om die funksie te onderwerp, wat enige ossillasie prosesse in 'n aantal van sinusvormige komponente wat gaan van minimum tot maksimum en omgekeerd. Die Fourier-transform is 'n funksie wat die fase en amplitude van sinusgolwe wat ooreenstem met 'n spesifieke frekwensie. Hierdie proses kan gebruik word vir die oplossing van 'n baie komplekse vergelykings wat die dinamiese prosesse wat onder die optrede van hitte, lig of elektriese energie te kan beskryf. Ook die Fourier-reeks gebruik om DC komponente onderskei in komplekse golfvorms, wat dit moontlik maak om die eksperimentele waarnemings in medisyne, chemie en astronomie korrek te interpreteer.

historiese inligting

Die stamvader van hierdie teorie is die Franse wiskundige Zhan Batist Zhozef Fure. Sy naam later en hierdie transformasie is genoem. Aanvanklik het die wetenskaplikes gebruik 'n tegniek om te studeer en die meganismes van termiese geleidingsvermoë verduidelik - hitte voortplanting in vaste stowwe. Fourier voorgestel dat die aanvanklike onreëlmatige verspreiding van die hitte golf kan ontbind word in eenvoudige sinusgolf, wat elkeen sal sy temperatuur minimum en maksimum, sowel as sy fase het. So elke sodanige komponent word gemeet vanaf minimum om die maksimum en omgekeerd. Die wiskundige funksie wat die boonste en onderste pieke van die kurwe beskryf, sowel as die fase van elke harmoniese, bekend as die Fourier-transform van die temperatuur verspreiding van uitdrukking. Die skrywer van die teorie van verminderde algehele verspreiding funksie wat moeilik is om wiskundige beskrywing, in 'n baie maklik om 'n aantal hanteer van periodieke funksies van sinus en cosinus, in die bedrag van die gee van die aanvanklike verspreiding.

Die beginsel van bekering en die uitsig van tydgenote

Tydgenote van die wetenskaplike - die voorste wiskundiges van die vroeë negentiende eeu - het hierdie teorie nie aanvaar nie. Die belangrikste beswaar was die goedkeuring van Fourier dat die diskontinue funksie beskrywing van 'n reguit lyn of kurwe verskeur, dit kan voorgestel word as 'n som van sinusvormige uitdrukkings wat kontinu is. As 'n voorbeeld, oorweeg 'n "stap" Heaviside: die waarde daarvan nul aan die linkerkant van die gaping en een aan die regterkant. Hierdie funksie beskryf die afhanklikheid van elektriese stroom op die tyd veranderlike vir die sluiting ketting. Kontemporêre teorie op daardie tydstip, het nog nooit so 'n situasie, wanneer 'n diskontinue uitdrukking sou word beskryf deur 'n kombinasie van deurlopende, 'n gemeenskaplike funksies, soos eksponensiële, sine, lineêre of kwadratiese teëgekom.

Wat pla die Franse wiskundiges in die teorie van Fourier?

Na alles, as 'n wiskundige reg om te argumenteer was, dan, 'n opsomming 'n oneindige trigonometriese Fourier-reeks, is dit moontlik om 'n akkurate voorstelling van die stap van uitdrukking te verkry, selfs al is dit 'n stel van soortgelyke stappe. In die vroeë negentiende eeu, hierdie stelling lyk absurd. Maar ten spyte van al die onsekerheid, het baie wiskundiges die omvang van die studie van hierdie verskynsel uitgebrei, beweeg dit as die termiese geleiding studies. Maar die meeste wetenskaplikes het voortgegaan om die vraag te ly: "Kan die som van die sinusgolf reeks konvergeer na die presiese waarde van 'n diskontinue funksie"

Konvergensie van Fourier-reekse: voorbeeld

Die kwessie van konvergensie styg elke keer as jy die opsomming van 'n oneindige reeks van getalle nodig. oorweeg 'n klassieke voorbeeld vir die begrip van hierdie verskynsel. Kan jy ooit die muur te bereik, as elke stap is die helfte van die vorige? Veronderstel jy is twee meter van die doel te bereik, is die eerste stap nader aan om halfpad, die volgende - die punt van 'n driekwart, en na die vyfde, jy sal byna 97 persent van die pad te oorkom. Maar maak nie saak hoeveel stappe wat jy gedoen het nie, die beoogde teiken jy bereik in 'n streng wiskundige sin. Die gebruik van numeriese berekeninge, kan ons bewys dat in die einde kan nader aan 'n arbitrêr klein gegee afstand wees. Dit is gelykstaande aan 'n bewys te toon dat die totale waarde van die helfte, 'n kwart, en so aan. E. Sal geneig om eenheid.

Die kwessie van konvergensie: die wederkoms, of instrument van Lord Kelvin

Herhaaldelik die vraag ontstaan in die laat negentiende eeu, toe die Fourier-reeks het probeer om te gebruik om die intensiteit van die getywisselings voorspel. In daardie tyd, was Lord Kelvin uitgevind toestel is 'n analoog rekenaar wat toegelaat matrose vloot en handelaar mariene monitor is 'n natuurlike verskynsel. Hierdie meganisme gedefinieer stel fases en amplitudes van die tafel hoogte van die getye en die ooreenstemmende tyd oomblikke, noukeurig gemeet in die hawe regdeur die jaar. Elke parameter is 'n sinusvormige komponent uitdrukking gety hoogtes en was een van die gereelde komponente. Die meting resultate is insette tot die rekenaar toestel Lord Kelvin, sintetisering kurwe wat hoogte van die water voorspel as 'n funksie van die volgende jaar. Baie gou is hierdie kurwes vir al die hawens van die wêreld getrek.

En as die proses sal diskontinue funksie gebreek?

In daardie tyd, het dit gelyk voor die hand liggend dat die toestel voorspel 'n vloedgolf, met baie elemente van die rekening 'n groot aantal fases en amplitudes kan bereken, en so 'n meer akkurate voorspelling. Tog, het dit geblyk dat hierdie patroon nie waargeneem word in gevalle waar die gety uitdrukking wat gesintetiseer word, bevat 'n skerp spring, dit wil sê, is diskontinu. In die geval dat die apparaat om data in te voer van 'n tafel van tyd punte, dit bereken paar Fourier koëffisiënte. Herstel die oorspronklike funksie as gevolg van die sinusvormige komponent (in ooreenstemming met die gevind koëffisiënte). Die verskil tussen die oorspronklike en die gerekonstrueerde uitdrukking gemeet kan word by enige punt. Wanneer die herhaling berekeninge en vergelykings kan gesien word dat die waarde van die grootste fout is nie verminder. Tog is dit gelokaliseer in die streek wat ooreenstem met die punt van skeuring, en enige ander punt is geneig om nul. In 1899, was hierdie resultaat bevestig teoreties Josua Willard Gibbs van Yale Universiteit.

Konvergensie van Fourier-reekse en die ontwikkeling van wiskunde as 'n geheel

Fourier analise nie van toepassing op uitdrukkings met 'n oneindige aantal bars op 'n sekere interval. In die algemeen Fourier-reekse, as die oorspronklike funksie voorgestel word deur die uitslag van die werklike fisiese metings, altyd bymekaar. Vrae van konvergensie van hierdie proses vir spesifieke klasse van funksies het gelei tot nuwe takke van wiskunde, soos die teorie van algemene funksies. Dit is wat verband hou met name soos Schwartz, J .. Mikusiński en J. Tempel. Onder hierdie teorie, het 'n duidelike en presiese teoretiese basis vir so 'n uitdrukking is gestig as die Dirac delta funksie (dit beskryf die streek van 'n enkele gebied, gekonsentreer in 'n infinitesimale omgewing van die punt) en "step" Heaviside. Deur middel van hierdie werk is Fourier-reekse van toepassing vir die oplos van vergelykings en probleme, wat intuïtief konsepte behels: puntlading, punt massa, magnetiese dipole en die gekonsentreerde las op die balk.

Fourier-metode

Fourier-reekse, in ooreenstemming met die beginsels van inmenging, begin met die ontbinding van komplekse vorms in eenvoudiger. Byvoorbeeld, 'n verandering in die hitte vloei as gevolg van sy gang deur die verskillende hindernisse van die hitte isoleermateriaal van onreëlmatige vorm of verander grondoppervlak - 'n aardbewing, 'n verandering in die baan van die hemelliggaam - die invloed van die planete. Tipies, hierdie vergelykings beskryf eenvoudige klassieke stelsel ELEMENTARY opgelos vir elke individu golflengte. Fourier het getoon dat eenvoudige oplossings kan opgesom word as vir meer komplekse take. In die taal van wiskunde, Fourier-reekse - 'n metode vir die indiening van uitdrukking som van harmoniese - kosinus en sinusgolwe. Daarom is hierdie analise ook bekend onder die naam "harmoniese analise".

Fourier-reeks - 'n ideale metode om die "rekenaar ouderdom"

Voor die skepping van rekenaartegnologie Fourier-metode is die beste wapen in die arsenaal van wetenskaplikes werk saam met die golfgeaardheid van ons wêreld. Fourier-reekse in komplekse vorm kan jy nie net eenvoudige probleme wat ontvanklik is vir direkte toepassing van wette van Newton se meganika is nie, maar ook die fundamentele vergelykings op te los. Die meeste van die ontdekkings van Newton wetenskap van die negentiende eeu het slegs moontlik as gevolg van die Fourier-metode.

Fourier-reeks vandag

Met die ontwikkeling van Fourier-transform rekenaars het gestyg tot 'n nuwe vlak. Hierdie tegniek is stewig in byna al die velde van die wetenskap en tegnologie. As 'n voorbeeld, 'n digitale klank en video. Die implementering daarvan gemaak is slegs moontlik danksy die teorie wat ontwikkel is deur die Franse wiskundige van die vroeë negentiende eeu. So, die Fourier-reeks in komplekse vorm toegelaat word om 'n deurbraak te maak in die studie van die buitenste ruim. Daarbenewens het dit die studie van die fisika van halfgeleiermateriale en plasma, mikrogolf akoestiek, oseanografie, radar, seismologie geraak.

Trigonometriese Fourier-reeks

In wiskunde, 'n Fourier-reeks is 'n manier van wat arbitrêre komplekse funksies as 'n som van eenvoudiger. In die algemeen gevalle kan die aantal uitdrukkings oneindige wees. Hoe groter die aantal getel in die berekening, is die meer akkurate die finale uitslag verkry. Die mees algemene gebruik van eenvoudige trigonometriese kosinus of sinusfunksie. In hierdie geval, is die Fourier-reeks genoem trigonometriese, en die besluit van sodanige uitdrukkings - harmoniese ontbinding. Hierdie metode speel 'n belangrike rol in wiskunde. In die eerste plek, die trigonometriese reekse bied 'n manier vir die beeld, sowel as die studie van funksies, dit is die belangrikste eenheid van die teorie. Verder is dit stel ons in staat om 'n aantal probleme in wiskundige fisika op te los. Ten slotte, het hierdie teorie bygedra het tot die ontwikkeling van wiskundige analise, dit het aanleiding gegee tot 'n aantal baie belangrike takke van wiskundige wetenskap (teorie van integrale, die teorie van periodiese funksies). Daarbenewens het die beginpunt vir die ontwikkeling van die volgende teorieë: stelle, funksies van 'n werklike veranderlike, funksionele analise, en ook die grondslag gelê vir harmoniese analise.