Die afgeleide van die sinus van die hoek is gelyk aan die cosinus van dieselfde hoek

Gegewe die eenvoudigste trigonometrie funksie y = Sin (x), is dit differensieerbaar by elk van sy punte uit die hele definisie-definisie-gebied. Dit is nodig om te bewys dat die afgeleide van die sinus van enige argument gelyk is aan die cosinus van dieselfde hoek, dit is, y '= Cos (x).

Die bewys is gebaseer op die definisie van die afgeleide van die funksie

Ons definieer x (arbitrêr) in 'n klein omgewing Δx van 'n spesifieke punt x0. Kom ons wys die waarde van die funksie daarin en by die punt x om die inkrement van 'n gegewe funksie te vind. As Δx die toename van die argument is, is die nuwe argument x ₀ + Δx = x, die waarde van hierdie funksie vir 'n gegewe waarde van die argument y (x) is Sin (x ₀ + Δx), die waarde van die funksie by 'n bepaalde punt y (x ₀ ) .

Nou het ons Δy = Sin (x ₀ + Δx) -Sin (x ₀ ) is die toename van die funksie wat verkry is.

Deur die sinusformule van die som van twee ongelyke hoeke, sal ons die verskil Δy transformeer.

(Cos) = cos (Δx) + Cos (x ₀ ) · Sin (Δx) minus Sin (x ₀ ) = (Cos (Δx) -1) · Sonde (x ₀ ) + Cos (x ₀ ) · Sonde (Δx).

Voer 'n permutasie van die terme uit, groepeer die eerste met die derde Sin (x ₀ ), dra 'n algemene vermenigvuldiger - sinus - vir die hakies. Ons het in die uitdrukking die verskil Cos (Δx) -1 verkry. Dit bly die teken voor die hakie en tussen hakies. Om te weet wat is 1-Cos (Δx), maak ons 'n substitusie en kry 'n vereenvoudigde uitdrukking Δy, wat ons dan verdeel deur Δx.
Δy / Δx sal die vorm hê: Cos (x ₀ ) · Sin (Δx) / Δx-2 · Sin ² (0.5 · Δx) · Sonde (x ₀ ) / Δx. Dit is die verhouding van die toename van die funksie tot die toegelate inkrement van die argument.

Dit bly die limiet van die verhouding lim wat verkry word vir Δx tot nul te vind.

Dit is bekend dat die limiet Sin (Δx) / Δx gelyk is aan 1, onder hierdie toestand. Die uitdrukking 2 · Sin ² (0,5 · Δx) / Δx in die resulterende kwosiënt word verminder tot die produk wat die eerste merkwaardige limiet as 'n vermenigvuldiger bevat: verdeel die teller en noemer van die breuk met 2, vervang die vierkant van die sinus deur die produk. Hier so:
(Sin (0.5 · Δx) / (0.5 · Δx)) · Sin (Δx / 2).
Die limiet van hierdie uitdrukking vir Δx wat na nul neig, is gelyk aan nul (1 vermenigvuldig met 0). Dit blyk dat die limiet van die verhouding Δy / Δx Cos (x ₀ ) · 1-0 is, dit is Cos (x ₀ ), 'n uitdrukking wat nie afhanklik is van Δx wat neig tot 0. Dit lei tot die gevolgtrekking dat die sinus afgeleide van enige hoek x is Cosine x, ons skryf as y '= Cos (x).

Die gevolglike formule word ingevoer in die bekende tabel van afgeleides, waar al die elementêre funksies

By die oplossing van probleme waar die afgeleide van 'n sinus voorkom, kan mens die reëls van differensiasie en gereedgemaakte formules uit die tabel gebruik. Byvoorbeeld: vind die afgeleide van die eenvoudigste funksie y = 3 · Sin (x) -15. Ons gebruik die elementêre reëls van differensiasie, die verwydering van die numeriese faktor agter die teken van die afgeleide, en die berekening van die afgeleide van 'n konstante getal (dit is nul). Ons pas die getabuleerde waarde van die afgeleide van die sinus van die hoek x toe, gelyk aan Cos (x). Ons kry die antwoord: y '= 3 · Cos (x) -O. Hierdie afgeleide is op sy beurt ook 'n elementêre funksie y = 3 · Cos (x).

Die afgeleide van die sinus is kwadraat van enige argument

By die berekening van hierdie uitdrukking (Sin ² (x)) ', is dit nodig om te onthou hoe die komplekse funksie gedifferensieer word. Dus, y = sin ² (x) - is 'n kragfunksie, aangesien die sinus vierkantig is. Sy argument is ook 'n trigonometriese funksie, Komplekse argument. Die resultaat in hierdie geval is gelyk aan die produk waarvan die eerste faktor die afgeleide van die vierkant van die gegewe komplekse argument is, en die tweede is die afgeleide van die sinus. Dit is hoe die reël vir die differensieer van 'n funksie van 'n funksie lyk: (u (v (x))) 'is gelyk aan (u (v (x)))' (v (x)) '. Die uitdrukking v (x) is 'n komplekse argument (interne funksie). As die funksie "igrok gelyk is aan die sinus in die blokkie x" gegee word, dan is die afgeleide van hierdie komplekse funksie y '= 2 · Sin (x) · Cos (x). In die produk is die eerste verdubbelde vermenigvuldiger die afgeleide van die bekende kragfunksie, en Cos (x) is die afgeleide van die sinus, die argument van 'n komplekse kwadratiese funksie. Die finale resultaat kan getransformeer word deur die trigonometriese sinusformule van die dubbelhoek te gebruik. Antwoord: die afgeleide is Sonde (2 · x). Hierdie formule word maklik onthou, dit word dikwels as tabel gebruik.