Russell se paradoks: basiese inligting, voorbeelde, formulering

Russell paradoks is twee interafhanklik logiese paradox.

Twee vorme van paradoks Russell se

Die mees algemene bespreek vorm van 'n teenstrydigheid in logika stelle. Sommige van die stel lyk vir die lede hulself, en ander nie - geen. Die versameling van alle versamelings is self 'n stel, sodat dit lyk asof dit verwys na homself. Nul of leeg, maar moet nie 'n lid van homself wees. Daarom is die versameling van alle stelle, as nul nie ingesluit in homself. Die paradoks ontstaan wanneer die vraag of die stel van 'n lid van self. Dit is moontlik as en slegs as dit is nie.

Nog 'n vorm paradoks is 'n teenstrydigheid met betrekking tot eiendomme. Sommige eienskappe, blyk te verwys na hulself, terwyl ander is nie. Die eiendom aan die eiendom self is 'n eiendom wees, terwyl die eiendom of dit nou 'n kat is nie. Kyk na die eiendom van 'n eiendom wat nie aan hom behoort. indien dit van toepassing is op sigself? Weereens, enige van die aannames moet die teenoorgestelde wees. Die paradoks is vernoem ter ere van Bertrand Russell (1872-1970), wat dit in 1901 ontdek.

storie

Opening Russell plaasgevind het tydens sy werk op "Beginsels van Wiskunde". Hoewel hy ontdek die paradoks onafhanklik, daar is 'n bewys dat ander wiskundiges en ontwikkelaars van versamelingsleer, insluitend Ernst Zermelo en David Hilbert, bewus van die eerste weergawe van teenstrydighede sy voorgangers. Russell was egter die eerste wat in detail die paradoks in sy gepubliseerde werke bespreek, eers probeer om oplossings te formuleer en die eerste ten volle waardeer die betekenis daarvan. 'N Hele hoofstuk van "Beginsels" is gewy aan die bespreking van hierdie kwessie, en die aansoek is toegewy aan die teorie van tipes, wat Russell voorgestel as 'n oplossing.

Russell ontdek die "paradoks van die leuenaar", met inagneming van Cantor se versamelingsleer wat sê dat die krag van enige vasgestelde is kleiner as die stel van sy deelversamelings. Ten minste in die domein moet wees as baie deelversamelings as daar elemente in dit, as 'n mens subset van elke element is ingestel met net hierdie element. Verder Cantor bewys word dat die aantal elemente nie gelyk aan die aantal onderafdelings kan wees. As daar ewe veel, sal dit moet ƒ funksie wat elemente op hul deelversamelings sal vertoon bestaan. Terselfdertyd is dit bewys kan word dat dit onmoontlik is. Sommige items kan vertoon word op die funksie ƒ deelversamelings wat hulle bevat, terwyl ander kan nie.

Oorweeg die subset van elemente wat behoort nie aan hul beelde, waarin hulle ƒ vertoon. Dit is op sigself 'n subset van elemente, en daarom sal ƒ funksie dit wys op 'n element in die domein. Die probleem is dat dan die vraag ontstaan of hierdie element behoort aan die subset waarop dit vertoon ƒ. Dit is slegs moontlik indien dit hoort nie. Russell se paradoks kan gesien word as 'n voorbeeld van dieselfde lyn van redenasie, net vereenvoudig. Wat is meer - die stelle of deelversamelings van die stel? Dit wil voorkom asof daar moet meer stelle, as al deelversamelings van die stelle hulself. Maar as Cantor se stelling waar is, dan moet daar meer deelversamelings. Russell beskou bloot vertoon stelle op hulself en toegepas kantoriansky benadering met inagneming van die stel van al hierdie elemente, buite 'n stel in wat hulle vertoon. Resultate Russell word die versameling van alle stelle, 'n non.

fout Frege

"Die paradoks van die leuenaar" het 'n groot impak op die historiese ontwikkeling van die teorie van stelle. Hy het gewys dat die konsep van die universele stel is hoogs problematies. Hy bevraagteken ook die idee dat vir elke gedefinieerde kondisie of predikaat die bestaan van 'n pluraliteit van net daardie dinge wat hierdie toestand tevrede kan aanneem. Opsie paradoks met betrekking tot die eienskappe - 'n natuurlike uitbreiding van die weergawe stelle - aanleiding gee tot ernstige bedenkinge oor of dit moontlik is om te argumenteer oor die doel bestaan van 'n eiendom of 'n universele ooreenstemming met elke bepaal deur die toestand, of gesegde.

Gou het die teenstrydighede en probleme in die werk van die Logicians gevind is, filosowe en wiskundiges wat soortgelyke aannames gemaak. In 1902 het Russell het bevind dat 'n variant van die paradoks uitgedruk kan word in 'n logiese stelsel, wat ontwikkel is in Deel I van Gottlob Frege se "Grondslae van rekenkundige", een van die belangrikste werke op die logika van die laat XIX - vroeg XX eeu. In die filosofie van Frege baie verstaan as 'n "uitbreiding" of "waarde-reeks" konsep. Die konsepte is die naaste aan dié van korrelate. Hulle sal na verwagting bestaan vir enige gegewe toestand of gesegde. So, daar is 'n konsep van 'n stel, wat nie onder sy definisie van konsep val. Daar is ook 'n klas gedefinieer deur hierdie konsep, en dit is onderhewig aan die definisie van sy konsep slegs indien dit is nie.

Russell het om Frege oor hierdie konflik in Junie 1902 Korrespondensie is een van die mees opwindende en gepraat oor in die geskiedenis van logika. Frege onmiddellik erken die rampspoedige gevolge van die paradoks. Hy het opgemerk egter dat die weergawe van die omstredenheid oor die eienskappe in sy filosofie is opgelos deur te onderskei tussen die konsepte van vlakke.

Frege se idee verstaan as die oorgang van die argumente van die funksie om WAAR. Die konsepte eerste vlak neem as argumente die voorwerpe van die tweede vlak konsepte te neem as argumente om hierdie funksies, en so aan. So, die konsep kan self nooit neem as 'n argument, en die paradoks in terme van die eienskappe kan nie geformuleer. Tog stelle, uitbreiding of konsepte Frege verstaan as verwysend na dieselfde logiese tipe as dié van alle ander voorwerpe. Dan is daar vir elke stel 'n vraag of dit val onder die konsep te definieer nie.

Wanneer Frege, Russell die eerste letter, die tweede volume van "Grondslae van rekenkundige" ontvang is al klaar druk. Hy is gedwing om 'n program wat 'n antwoord op die paradoks van Russell gee vinnig voor te berei. Voorbeelde Frege bevat 'n aantal moontlike oplossings. Maar hy tot die gevolgtrekking gekom die konsep van abstraksie stel verswak in 'n logiese stelsel.

In die oorspronklike, was dit moontlik om tot die gevolgtrekking dat die voorwerp behoort aan die stel as en slegs as dit binne die konsep val, definieer dit. Die hersiene stelsel kan net aflei dat die voorwerp behoort aan die stel as en slegs as dit binne die idee van die definisie van 'n pluraliteit val, maar nie ingestel in vraag. Russell se paradoks ontstaan.

Die oplossing is egter nie heeltemal tevrede met Frege. En dit was die rede. 'N paar jaar later, het meer komplekse vorm van die teenstrydigheid is gevind vir die hersiene stelsel. Maar selfs voor dit gebeur het, Frege verlate sy besluite en lyk tot die gevolgtrekking gekom dat sy benadering was eenvoudig onwerkbaar te kom, en dat logika sal hoef te doen sonder enige van die stelle.

Nog ander is voorgestel, relatief meer suksesvolle alternatiewe oplossings. Dit word hieronder bespreek.

Die teorie van tipes

Daar is opgemerk bo dat Frege 'n voldoende antwoord op die paradokse was van versamelingsleer in die weergawe wat geformuleer is vir eiendomme. reaksie Frege se is voorafgegaan deur die meeste bespreek oplossing vir hierdie vorm van paradoks. Dit is gebaseer op die feit dat die eienskappe is onderhewig aan verskillende tipes en watter tipe eiendom is nooit weer dieselfde wees as die items waarna dit verwys.

Dus, selfs nie die vraag ontstaan of die eiendom is van toepassing op sigself. Logiese taal, wat die elemente van so 'n hiërargie skei, met behulp van die teorie van tipes. Hoewel dit reeds deur Frege, die eerste keer gebruik dit ten volle verduidelik en gemotiveer Russell in die aanhangsel by die "beginsel". Die teorie van tipes was meer volledig as die onderskeid van Frege vlakke. Sy het eienskappe is nie net verskillende soorte logika nie, maar ook te stel. tik teorie om die teenstrydigheid in die paradoks van Russell volg op te los.

Met die oog op 'n filosofies voldoende wees, die aanneming van die teorie van tipes eienskappe vereis die ontwikkeling van die teorie van die aard van die eienskappe sodat kon verduidelik hoekom hulle nie toegepas kan word om hulself. Met die eerste oogopslag, is dit sinvol om hul eie eiendom gesegde. Die eiendom van wat self-identiteit, wil dit voorkom, is dit ook 'n self-identiteit. Die eiendom lyk 'n mooi lekker wees. Op dieselfde wyse, glo, dit blyk vals te sê dat die eiendom van 'n kat is 'n kat.

Tog verskeie denkers geregverdig die verdeling van verskillende tipes. Russell het selfs verskillende verduidelikings op verskillende tye in sy loopbaan. Vir sy deel, die rasionaal vir die skeiding van die verskillende konsepte van Frege vlakke kom van sy teorie van onversadigde konsepte. Konsepte as funksie, in wese, is onvolledig. Om waarde te voorsien, wat hulle nodig het 'n argument. Jy kan nie net een konsep om die konsep van dieselfde tipe gesegde, omdat dit nog steeds sy argument vereis. Byvoorbeeld, hoewel dit moontlik is om die vierkantswortel van die vierkantswortel van 'n getal te neem, kan jy nie net gebruik om 'n vierkantswortel funksie is aan die vierkantswortel funksie en kry 'n resultaat.

Oor konserwatisme eienskappe

Nog 'n moontlike oplossing is die paradoks eienskappe ontkenning eiendomme bestaan onder enige gegewe omstandighede, of 'n goed gevormde gesegde. Natuurlik, as iemand eschews metafisiese eienskappe van beide objektiewe en onafhanklike elemente as 'n geheel, as ons nominalisme paradoks kan heeltemal vermy.

Maar om die paradox op te los hoef nie so erg wees nie. Logika hoër orde stelsels ontwikkel Frege en Russell, bevat wat 'n konseptuele beginsel genoem, waarvolgens elke oop formules ongeag hoe kompleks bestaan as deel van 'n eiendom of konsep byvoorbeeld, slegs daardie items wat ooreenstem met die formule. Hulle aansoek gedoen het om die eienskappe van elke moontlike stel voorwaardes of predicaten, maak nie saak hoe komplekse hulle was.

Tog was dit moontlik om 'n meer streng metafisika eiendomme te neem, gee die reg om die doel bestaan van eenvoudige eienskappe, insluitend, byvoorbeeld, soos rooi kleur, fermheid, vriendelikheid en so aan. D. Jy kan selfs toelaat dat hierdie eienskappe van toepassing op hulself, soos goedhartigheid kan wees vriendelik.

En dieselfde status vir komplekse eienskappe kan ontken, byvoorbeeld, soos "eienskappe" as wat sewentien-koppe, word geskryf onder-water en dies meer. D. In hierdie geval, geen voorafbepaalde toestand nie voldoen aan die eiendom, verstaan word as apart bestaande element, wat sy eie eienskappe het. So kan 'n mens die bestaan van 'n eenvoudige eienskappe ontken wees-eiendom-dat-nie-toepassing-tot-self en paradoks vermy deur die toepassing van meer konserwatiewe metafisiese eienskappe.

Russell se paradoks: die oplossing

Bo dit is opgemerk dat aan die einde van sy lewe Frege heeltemal laat vaar die logika van stelle. Dit, natuurlik, een oplossing vir die paradox in die vorm van stelle: 'n eenvoudige ontkenning van die bestaan van sulke elemente as 'n geheel. Daarbenewens is daar is ander gewilde keuses, die basiese beginsels van wat hieronder getoon.

Die teorie vir baie verskillende tipes van

Soos vroeër genoem, Russell gespeel vir 'n meer volledige teorie van tipes, wat nie net die eienskappe of konsepte sal deel aan verskillende tipes, maar ook te stel. Russell gedeel op 'n pluraliteit van afsonderlike eenhede, 'n pluraliteit van stelle van afsonderlike voorwerpe, ens Die stelle van voorwerpe is nie oorweeg nie, en 'n pluraliteit van stelle - .. Stelle. Baie nooit geniet die tipe, kan jy as 'n lid van self. Daarom is daar geen versameling van alle stelle wat nie lede van sy eie is nie, want vir enige stel vrae oor die vraag of dit as 'n lid, is self 'n skending tipe. Verder is die kwessie hier is om die metafisika stelle verduidelik aan die filosofiese grondslae van die afdeling verduidelik in tipes.

stratifikasie

In 1937, het V. V. Kuayn 'n alternatiewe oplossing aangebied, op 'n manier soortgelyk aan die teorie van tipes. Basiese inligting daaroor is.

Skei element stelle en ander. Gemaak sodat die aanname van die vind van 'n pluraliteit is altyd verkeerd of betekenisloos. Stelle kan slegs verskaf wanneer die definisie van hul omstandighede is nie 'n skending tipe. So, vir Quine, die uitdrukking "x is nie 'n lid van x" is die betekenisvolle stelling impliseer nie die bestaan van die stel van alle elemente x bevredig hierdie toestand.

In hierdie stelsel bestaan 'n stel vir 'n paar oop formule A as en slegs as dit is gestratifiseer, t. E. As die veranderlikes positiewe heelgetalle wat weerskante van elke eienskap voorkoms van 'n pluraliteit van voorafgaande dit veranderlike opgedra opdrag eenheid kleiner as die veranderlike toegeken, volgende na hom. Dit blokke Russell se paradoks, aangesien die formule wat gebruik word om die probleem stel bepaal, daar is dieselfde voor en na die veranderlike lidmaatskap teken maak dit unstratified.

Maar dit is nog nie bepaal of die gevolglike stelsel, wat Quine genoem "New Grondslae van wiskundige logika" konsekwent.

verwerping

'N heel ander benadering geneem word in die teorie van Zermelo - Fraenkel (ZF). Ook hier stel 'n beperking op die bestaan van stelle. In plaas daarvan, nader die "top-down" van Russell en Frege, wat aanvanklik gedink dat vir alle konsepte, eienskappe, of voorwaardes van die bestaan van die versameling van alle dinge kan stel met hierdie eiendom of om so 'n toestand te ontmoet, in ZF-teorie, alles begin "van onder na bo."

Individuele elemente van die leë versameling en vorm 'n stel. Daarom, in teenstelling met vroeër stelsels en Russell Frege FIT behoort nie aan die universele stel wat al die elemente en selfs al die stelle sluit. ZF stel streng beperkings op die bestaan van stelle. Mag slegs bestaan dié waarvoor dit duidelik gepostuleer of wat kan geformuleer word deur middel van iteratiewe prosesse en dies meer. D.

Dan, in plaas van die konsep onttrekking naïef stel wat bepaal dat 'n bepaalde element is ingesluit in die stel as en slegs as dit voldoen aan die voorwaardes in die skeidingsbeginsel gebruik DF, skeiding of "sortering". In plaas van die aanvaarding van die bestaan van die stel van alle elemente wat sonder uitsondering bevredig 'n sekere toestand, vir elke bestaande stel Aussonderung dui op die bestaan van 'n subset van al die elemente in die oorspronklike stel wat die toestand voldoen.

Dan kom die beginsel van abstraksie: as 'n bestaan, vir al die elemente x in A, x behoort aan 'n subset van A, wat die toestand voldoen as en slegs as x bevredig die voorwaarde C. Hierdie benadering los die paradoks van Russell, as ons nie in staat is om net te aanvaar dit wil sê die versameling van alle stelle wat nie lede van hulself is.

Na 'n baie stelle, kan jy kies of verdeel dit in stelle, wat in hulself, en diegene wat nie so nie, maar omdat daar geen universele stel ons nie gebind versameling van alle stelle. Sonder die aanvaarding van die probleem sit Russell teenstrydigheid kan nie bewys word.

ander oplossings

Daarbenewens het daar daaropvolgende uitbreidings of veranderinge van hierdie oplossings, soos 'n vurk-tipe teorie van "Beginsels van Wiskunde" stelsel uitbreiding "wiskundige logika" Quine, asook meer onlangse ontwikkelings in die teorie van stelle was, het Bernays, Gödel en von Neumann. Die vraag of die antwoord op die onoplosbare paradoks Bertrand Russell gevind, is nog steeds 'n saak van debat.