Reële getalle en hul eienskappe

Pythagoras beweer dat die getal is die grondlegging van die wêreld op 'n gelyke voet met die groot elemente. Plato het geglo dat die aantal skakels die verskynsel en die noumenon, help om te weet, word geweeg en om gevolgtrekkings. Rekenkundige kom van die woord "arifmos" - die nommer, die beginpunt in wiskunde. Dit is moontlik om enige voorwerp te beskryf - van eenvoudige tot appel abstrakte ruimtes.

Moet as 'n ontwikkeling faktor

In die eerste fase van die ontwikkeling van die samelewing die behoeftes van mense beperk deur die behoefte om telling te hou - .. Een sakkie graan, twee streepsak, ens Om dit te doen, dit is natuurlike getalle, die stel van wat is 'n oneindige reeks positiewe heelgetalle N.

Later, die ontwikkeling van wiskunde as 'n wetenskap, was dit nodig in die spesifieke veld van heelgetalle Z - dit sluit negatiewe waardes en 'n nul. Sy verskyning op die plaaslike vlak, is dit veroorsaak deur die feit dat die aanvanklike verantwoording moes die skuld en verliese op 'n manier op te los. Op 'n wetenskaplike vlak, het negatiewe getalle het dit moontlik gemaak om eenvoudige los lineêre vergelykings. Onder andere, is dit nou moontlik om beeld 'n triviale koördineer stelsel, dws. A. Daar was 'n punt van verwysing.

Die volgende stap was die behoefte om fraksionele getalle te betree, aangesien die wetenskap nie stil te staan, meer en meer nuwe ontdekkings geëis 'n teoretiese basis vir 'n nuwe stoot groei. So was daar 'n stuk grond van rasionale getalle Q

Ten slotte, nie meer voldoen aan die vereistes van redelikheid, omdat alle nuwe bevindings regverdiging nodig. Daar was 'n veld van reële getalle R, die werke van onmeetbaarheid van sekere hoeveelhede as gevolg van hulle irrasionaliteit Euclides se. Dit wil sê, die antieke Griekse wiskundige geposisioneer nie net nommer as 'n konstante, maar as 'n abstrakte waarde wat gekenmerk word deur die verhouding van onvergelykbaar groottes. As gevolg van die feit dat daar reële getalle, "ons het die lig gesien" waardes soos "pi" en "e", waarsonder die moderne wiskunde nie kon plaasgevind het.

Die finale innovasie was 'n komplekse getal C. Dit beantwoord 'n reeks vrae en weerlê voorheen ingevoer postulate. As gevolg van die snelle ontwikkeling van algebra uitkoms was voorspelbaar - met reële getalle, die besluit van baie probleme nie moontlik was. Byvoorbeeld, te danke aan die komplekse getalle uitgestaan string teorie en chaos uitgebrei vergelykings van hidrodinamika.

Versamelingsleer. Cantor

Die konsep van oneindigheid was nog altyd veroorsaak omstredenheid, as dit onmoontlik was om te bewys of te weerlê. In die konteks van wiskunde, wat bedryf word streng gekontroleer postulate, dit gemanifesteer mees natuurlik, hoe meer dat die teologiese aspek nog geweeg in die wetenskap.

Maar deur die werk van wiskundige Georg Cantor alle tye in plek geval het. Hy het bewys dat die oneindige versamelings daar is 'n oneindige stel, en dat die veld R is groter as die veld N, laat beide van hulle en het geen einde nie. In die middel van die XIX eeu, sy idees in die openbaar genoem nonsens en 'n misdaad teen die klassieke onveranderlike kanonne, maar tyd sal alles in sy plek te sit.

Basiese eienskappe van die veld R

Werklike getalle nie net dieselfde eienskappe as die podmozhestva dat hulle sluit, maar word aangevul deur ander masshabnosti uit hoofde van sy elemente:

• Zero R. bestaan en behoort aan die veld c + = c 0 vir enige c van R.
• Zero bestaan en behoort aan die veld R. c x 0 = 0 vir enige c van R.
• Die verhouding c: d wanneer d ≠ 0 bestaan en is geldig vir enige c, d van R.
• Gebied R bestel, dit wil sê as c ≤ d, d ≤ c, dan c = d vir enige c, d van R.
• Daarbenewens in die veld R is kommutatiewe, maw c + d = d + c, vir enige c, d van R.
• Vermenigvuldiging in veld R is kommutatiewe, maw x c x d = d c vir alle c, d van R.
• Daarbenewens in die veld R is assosiatiewe maw (c + d) + f = c + (d + f) vir enige c, d, f van R.
• Vermenigvuldiging in veld R is assosiatiewe maw (c x d) x f = c x (d x f) vir enige c, d, f van R.
• Vir elke getal veld R daarteenoor is daar, soos wat c + (-c) = 0, waar c,-c van R.
• Vir elke getal veld R bestaan sy inverse, sodanig dat c x c ^-1 = 1 waar c, c ^-1 van R.
• Eenheid bestaan en behoort aan R, sodat die c x 1 = c, vir enige c van R.
• Dit het die verspreiding krag wet, sodat c x (d + f) = C x d + c x f, vir enige c, d, f van R.
• Die R veld is nul is nie gelyk aan eenheid.
• Gebied R is oorganklike: as c ≤ d, d ≤ f, dan c ≤ f vir enige c, d, f van R.
• In die R en benewens orde is met mekaar verbind: as c ≤ d, dan c + f ≤ d + f vir alle c, d, f van R.
• In die einde van R en vermenigvuldiging gekoppel: as 0 ≤ c, 0 ≤ d, dan 0 ≤ c x d vir enige c, d van R.
• As negatiewe en positiewe reële getalle is deurlopende, dit wil sê, vir enige c, d van R f, bestaan daar vanaf R, dat c ≤ f ≤ d.

Module veld R

Die reële getalle sluit in so 'n ding soos 'n module. Aangewese dit as die | F | vir enige f in R. | F | = F, as 0 ≤ f en | F | = F, as 0> f. As ons kyk na die module as 'n geometriese waarde, dit is 'n afstand - dit maak nie saak, "geslaag" jy as nul in die negatiewe na die positiewe of vorentoe.

Komplekse en reële getalle. Wat is die ooreenkomste en verskille?

Deur en groot, komplekse en reële getalle - hulle is een en dieselfde, behalwe dat die eerste by die denkbeeldige eenheid i, die vierkant van wat gelyk is aan -1. Elemente velde R en C kan voorgestel word deur die volgende formule te gebruik:

• c = d + f x i, waarin d, f behoort aan die veld R, en ek - denkbeeldige eenheid.

Om die c van R f te kry in hierdie geval net aangeneem dat dit nul, dit wil sê, daar is net die regte deel van die aantal. Omdat die gebied van komplekse getalle het dieselfde funksie stel as die veld van ware, f x i = 0 as f = 0.

Met betrekking praktiese verskille, byvoorbeeld in die veld R kwadratiese vergelyking kan nie opgelos word as die diskriminant negatief is, terwyl die boks C hierdie beperking nie lê by die bekendstelling van die denkbeeldige eenheid i.

resultate

"Bakstene" van aksiomas en postuleer waarop basis wiskunde, nie verander nie. Op sommige van hulle as gevolg van die toename van inligting en die bekendstelling van nuwe teorieë geplaas om die volgende "stene", wat in die toekoms die basis vir die volgende stap kan word. Byvoorbeeld, natuurlike getalle, ten spyte van die feit dat hulle 'n subset van die werklike gebied R, nie sy relevansie verloor. Dit is vir hulle wel die basis van alle elementêre rekenkunde, wat begin met die kennis van 'n man van vrede.

Uit 'n praktiese oogpunt, die reële getalle lyk soos 'n reguit lyn. Dit is moontlik om 'n rigting kies, om die oorsprong en toonhoogte te identifiseer. Direkte bestaan uit 'n oneindige aantal punte, elk van wat ooreenstem met 'n enkele reële getal, ongeag of nie rasionele. Uit die beskrywing is dit duidelik dat ons praat oor die konsep, wat gebaseer is wiskunde in die algemeen, en wiskundige analise in die besonder.