Euclides se vyfde postulaat: die bewoording

Daar word geglo dat daar 10 000 jaar gelede het die eerste menslike beskawing. In vergelyking met die ouderdom van ons planeet, wat volgens wetenskaplikes, is sowat 4.540.000 jaar oud, dit is net 'n kort oomblik. Vir hierdie "oomblik" mensdom het 'n groot sprong van die primitiewe klipwerktuie te interplanetêre ruimtetuig gemaak. Hy sou nie moontlik wees, as wat van tyd tot tyd op die planeet sou gewees gebore 'n genie, wetenskap vorentoe beweeg. Onder hulle is, natuurlik, verwys Euclid. Sy werke is die fondament en 'n kragtige impuls vir die ontwikkeling van moderne wiskunde.

Hierdie artikel handel oor die vyfde postulaat van Euclides en sy geskiedenis.

Hoe het die meetkunde

Sedert die stukke grond was die onderwerp van huur, hul grootte en gebied van verkope en aflewering moet word gemeet, insluitende deur berekeninge. Verder, soos berekeninge nodig word in die konstruksie van grootskaalse strukture, asook die meting van die volume van verskillende items. Dit alles het 'n voorvereiste van 3-4 duisend jaar gelede in Egipte en Babilon kuns opmeting. Dit het empiries was en is 'n versameling van 'n paar honderd voorbeelde van die oplossing van spesifieke probleme, sonder enige bewyse.

As 'n sistematiese wetenskap van meetkunde ontwikkel in antieke Griekeland. So vroeg as die derde eeu vC was daar 'n groot aanbod van feite en bewyse metodes. Maar daar het die probleem voldoende uitgebreide om die ingesamelde geometriese op te som. Sy het probeer om op te los Hippokrates Fedii en ander antieke Griekse filosowe. Maar logies geverifieer wetenskaplike stelsel daar was slegs sowat 300 jaar voor Christus. e. met die publikasie van die "Principia".

Wie was Euclid

Antieke Griekeland het die wêreld baie van die grootste filosowe en wetenskaplikes. Een daarvan is Euclides, wat die stigter van die Alexandrynse skool van wiskunde geword. Oor die wetenskaplike feitlik niks bekend is. Sommige bronne dui aan dat die jong toekomstige vader van moderne meetkunde bestudeer in die beroemde skool van Plato in Athene, en dan teruggekeer na Alexandrië, waar hy voortgegaan om wiskunde en optika, asook die saamstel van musiek te bestudeer. In sy geboorteland stad het hy 'n skool, waar, saam met die studente en geskep sy beroemde werk, wat vir meer as twee duisend jaar is die basis vir enige handboek oor vliegtuig meetkunde en soliede meetkunde.

"Elemente" van Euclides

Die belangrikste en mees eerste sistematiese werk op meetkunde bestaan uit 13 volumes. Die eerste vier en die sesde boeke hanteer vliegtuig meetkunde en 11de, 12de en 13de - soliede meetkunde. Soos vir die ander volumes, hulle is gewy aan rekenkunde, wat uit die oogpunt van geometriese postulate.

Die rol van die belangrikste werk van Euclides in die daaropvolgende ontwikkeling van wiskundige wetenskappe kan nie onderskat word nie. Bestaande papirus lyste verskeie van die oorspronklike, sowel as Bisantynse manuskripte.

In die Middeleeue is "elemente" van Euclides hoofsaaklik bestudeer deur die Arabiere, wat hulle een van die grootste werke van menslike denke en die wetenskaplike van Damaskus oorweeg. Veel later hierdie werke wat belangstel die Europeërs. Met die koms van die druk van die wetenskap, insluitend Euklidiese meetkunde nie meer net bekend aan die uitverkorenes. Na afloop van die eerste uitgawe in 1533 "elemente" is beskikbaar vir almal wat wil om die wêreld te verstaan, en daar is meer en meer elke jaar. Die vraag het voorsiening gemaak, so dit word geglo dat hierdie werk is die tweede mees wyd gelees onder die monumente van antieke na die Bybel.

'n paar kenmerke

Die "elemente" beskryf die metriese eienskappe van drie-dimensionele, leë, onbeperk en isotropies ruimte, wat gewoonlik Euklidiese genoem. Dit word beskou as 'n arena waar daar verskynsels van die klassieke fisika van Galileo en Newton wees.

Elementêre meetkundige voorwerp, volgens Euclides, is die punt. Die tweede belangrike konsep - die oneindigheid van die ruimte, wat gekenmerk word deur die eerste drie postulate. Die vierde het betrekking op die gelykheid van regte hoeke. Met betrekking tot die vyfde postulaat van Euklides, dan is dit bepaal die eienskappe en die meetkunde van Euklidiese ruimte.

Volgens wetenskaplikes, klassieke meetkunde pa het 'n perfekte handboek, die studie van wat uitsluit enige misverstand van die materiaal as gevolg van die manier waarop sy aanbieding. In die besonder, elke volume van die "elemente" begin met die definisie van die teëgekom vir die eerste keer konsepte. In die besonder, van die eerste bladsye van die 1ste boek die leser leer dat 'n punt, lyn, reguit en so aan. In totaal het dit 'n 23 definisies wat nodig is vir die begrip van die belangrikste bepalings van die aangebied in hierdie fundamentele werk materiaal.

4 die eerste aksioma en postulaat Euclid

Na 'n skrywer van die "elemente" bied resultate wat sonder bewys aanvaar. Hierdie Hy verdeel in aksiomas en postulate. Die eerste groep bestaan uit 11 stellings wat intuïtief bekend die man. Byvoorbeeld, 8 aksioma dat die geheel groter is as die deel, en volgens die eerste twee hoeveelhede, afgesien gelyk aan drie, gelykstaande aan mekaar.

Verder 5 veroorsaak Euclid postuleer. Die eerste vier lees soos volg:

• vanaf enige punt na 'n ander, kan jy 'n reguit lyn te trek;
• van enige middel van elke radius is moontlik om 'n sirkel te beskryf;
• beperkte lyn kan voortdurend uit te brei in 'n reguit lyn,
• alle regte hoeke is ewe groot.

Euclides se vyfde postulaat

Vir meer as twee millennia, hierdie stelling herhaaldelik is die voorwerp van aandag van wiskundiges. Maar eers, ons kennis te maak met die inhoud van die vyfde postulaat Euclides se. So, in die moderne formulering dit klink asof op 'n vliegtuig by die kruising van twee reguit eensydige derde som van die binnehoeke van minder as 180 °, dan is hierdie lyne terwyl gouer voort te gaan of later ontmoet aan die ander kant waarop hierdie hoeveelheid (bedrag) van minder as 180 °.

Euclides se vyfde postulaat, wat is die bewoording in verskillende bronne verskil van die begin af het veroorsaak dat die sport en wil om dit te vertaal in die kategorie van stellings deur die bou van 'n klankdigte. By the way, is dit dikwels vervang deur 'n ander uitdrukking, in werklikheid, 'n uitvinding vervloek en ook bekend as die stelling van Playfair. Dit lui soos volg: op 'n vliegtuig deur middel van 'n punt wat nie behoort aan 'n gegewe lyn kan slegs een reguit lyn parallel aan hierdie hou.

taal

Soos reeds genoem, het baie wetenskaplikes verskillende probeer druk die idee van die 5de postulaat van Euclides. Baie formulerings is voor die hand liggend. Byvoorbeeld:

• konvergerende lyne sny;
• daar is ten minste een reghoek, dit is, 'n 4-vierkante met vier regte hoeke;
• elke figuur kan proporsioneel verhoog;
• daar is 'n driehoek met enige, arbitrêr groot gebied.

tekortkominge

Euklidiese meetkunde was die grootste wiskundige werke van antieke en tot die 19de eeu, dit geheers onbetwiste in wiskunde. Ten spyte hiervan, het 'n paar van sy tekortkominge aangeteken selfs deur tydgenote van die skrywer, en die antieke Griekse skolier, wat ietwat later geleef. In die besonder, het dit 'n nuwe Archimedes aksioma, na hom vernoem bygevoeg. Dit sê daar is 'n heelgetal n, wat is n · [AB]> [CD] vir al die segmente AB en CD.

Daarbenewens het wetenskaplikes probeer om die stelsel van Euklidiese aksiomas en postulate verminder. Om dit te doen, het hulle 'n paar van hulle uit die res.

So dit het daarin geslaag om "ontslae te raak" van die 4de postulaat van die gelykheid van regte hoeke. Vir hom, was 'n streng bewys gevind, sodat hy verhuis na die kategorie van stellings.

Geskiedenis 5 postulaat in antieke en die vroeë Middeleeue

Die klassieke formulering van hierdie stelling Euklidiese meetkunde lyk baie minder voor die hand liggend as die ander vier. Dit is hierdie feit spookhuis wiskundiges.

Die struikelblok vir die vyfde Euklidiese postulate was die definisie van parallelisme van die twee lyne a en b, wat verklaar dat die som van die twee eensydige hoeke wat gevorm word deur die kruising van A en B 'n derde reguit lyn c, gelykstaande aan 180 grade.

Die eerste poging om dit te bewys as 'n stelling is gemaak deur die antieke Griekse Geometer Posidonius. Hy het voorgestel om 'n direkte parallel aan die vlak van die versameling van alle punte wat ewe ver van die oorspronklike is oorweeg. Maar selfs dit het nie toelaat Posidonius vind bewyse 5 postulaat.

Nie tevergeefs en die pogings van ander wiskundiges, insluitend Middeleeuse, soos die Arabiere ibn Korra en Khayyam. Die enigste ding wat bereik is - die opkoms van die nuwe postulate, wat bewys kan word op grond van verskeie aannames.

In die 18-19-ste eeue

Klassieke meetkunde voortgegaan belangstel in wiskunde en in die 18de eeu te wees. In die besonder, voldoende naby aan die bewys parallel postulaat kan kom Franse wiskundige A. Legendre. Hy skryf 'n uitstekende handboek "Elemente van meetkunde", wat is ongeveer 150 jaar was die hoof van die onderrig van wiskunde in die Russiese Ryk skole. In dit het die wetenskaplike drie opsies bewys die Euklidiese parallel aksioma, maar hulle het almal uitgedraai verkeerd te wees.

Teen die vroeë 19de eeu, die idee van die skep van 'n nie-Euklidiese meetkunde. Die eerste beskrywing van die stelsel, onafhanklik van die vyfde postulaat, gelei n militêre ingenieur J. Bolyai. Maar hy was bang vir sy ontdekking en het die idee nie na te streef, glo dit verkeerd. Sukses het nie in staat was om te bereik en die groot Duitse wiskundige Gauss het.

deurbraak

Vir meer as 2000 jaar van die vyfde postulaat van Euklides, die bewys van wat probeer het om honderde wetenskaplikes vind, bly die nommer een probleem in wiskunde. Deurbraak gemaak Russiese wiskundige NI Lobachevsky. Om hom die wêreld se eerste daarin geslaag om die eienskappe van die werklike ruimte te beskryf, te bewys dat Euklidiese meetkunde "werk" net in die spesifieke geval van sy stelsel.

N. I. Lobachevsky het aanvanklik af dieselfde pad as dié van sy kollegas. Probeer om die 5 postulaat te bewys, het hy nie daarin geslaag. Toe die wetenskaplike geweier Euklidiese verteenwoordiging waarvolgens die hoeke van 'n driehoek som gelyk aan 180 grade. Volgende, het hy probeer om hierdie stelling deur teenstrydigheid bewys en het 'n nuwe bewoording vir die vyfde postulaat. Nou, erken hy die bestaan van 'n paar lyne parallel aan hierdie, en wat deur 'n punt lê buite hierdie lyn.

nuwe meetkunde

Dit maak geen sin om te bespreek wat meer vir wiskunde gedoen het. Die rol van Euclides en Lobachevsky vergelykbare invloed op die vorming en ontwikkeling van Newton se en Einstein se fisika. Terselfdertyd, die nuwe, absolute meetkunde is moontlik om die idee van ruimte beskou, weg te breek van die klassieke metode "kan verstaan net wat gemeet kan word." Maar so 'n benadering beoefen in die wetenskap vir duisende jare.

Ongelukkig is die idees van Lobachevskii meetkunde nie aanvaar en verstaan word deur sy tydgenote. In die besonder, is sy studente nie voortgegaan om die werk van die wetenskaplike, en die ontwikkeling van nie-Euklidiese meetkunde is uitgestel vir 'n paar dekades.

Enkele kenmerke van die Lobachevskii teorie

Om die nuwe meetkunde te verstaan, is dit nodig om die kosmiese oneindig oorweeg. Inteendeel, dit is moeilik om te dink dat die uitgestrektheid van die heelal is die som van lineêre ruimtes.

Lobachevsky meetkunde gebruik word om geboë ruimtes wat geskep word deur die swaartekrag velde van sterrestelsels te beskryf. Sy toegelaat om af te wyk van die metode van die aandag van al die syfers aan die "oor reg" silinder, sirkel, piramide, of enige kombinasie van hierdie vorms. Want byvoorbeeld in werklikheid, ons planeet - geen bal, en die geoïde, dit wil sê, 'n figuur wat verkry word deur kontoere die buitenste kontoer van die litosfeer (harde dop) van die aarde ...

In die werklike lewe, is daar ook analoë van geboë ruimtes van die heelal, wat dit moontlik maak om die moontlikheid van die bestaan van 'n paar parallelle lyne van die afsterwe stel deur dieselfde punt. Spesifiek, hierdie geboë oppervlak van die drie tipes wat toegeken Italiaanse Geometer Beltrami en die naam van E. pseudosphere.

Verdere ontwikkeling van die teorie van Lobachevsky

Uitstaande Russiese was nie die enigste een wat nie veronderstel absoluutheid van Euklidiese meetkunde. In die besonder, die wiskundige Riemann in 1854 na vore gebring die idee van die moontlikheid van die bestaan van ruimtes van nul, positiewe en negatiewe kurwe. Dit het beteken dat jy 'n oneindige aantal van verskillende nie-klassieke geometrie kan skep.

Op posisie Riemann se wat hoofsaaklik ruimte bestudeer met positiewe kurwe, die 5de postulaat van Euclides klink heeltemal onverwags. Volgens sy idees, deur 'n punt buite 'n gegewe lyn kan enige lyn parallel aan hierdie nie hou nie.

Heel anders is die geval met die nul ruimtes, negatiewe en positiewe kurwe van teorie Klein se. In die besonder, in die eerste geval hulle beskryf deur 'n paraboliese meetkunde, 'n spesiale geval wat die klassieke, die tweede - gehoorsaam Lobachevskian idees, en die derde - stem ooreen met dié beskryf deur Riemann.

Na aanleiding van die publikasie van Alberta Eynshteyna relatiwiteitsteorie, die indiening van sodanige ruimtes vul data wat rekening hou met die bestaan van vier interafhanklike en veranderende metings - gewig, krag, spoed en tyd.

in die praktyk

As jy na die menslike persepsie van ruimte binne die Aarde wentelbaan vir reuse grootste moontlike driehoek van die moontlike afwyking van die som van die binnehoeke van 180 grade klassieke make slegs vier miljoen dele van 'n sekonde. Hierdie waarde is buite die vermoë van homo sapiens, so "aardse" vraag is Euklidiese meetkunde.

Dit bly om te wag totdat toestande geskep wat dit moontlik maak om eksperimentele data om die teorie van N. Lobachevsky en Riemann regoor die sterrestelsel te bevestig of te weerlê verkry.

Nou weet jy wat verklaar Euclides se vyfde postulaat en sy geskiedenis, en dit is baie insiggewend, en stel ons in staat om die evolusie van die menslike verstand te spoor oor die afgelope 2300 jaar.