Die Riemann Hipotese. Verspreiding van priemgetalle

In 1900, een van die grootste wetenskaplikes van die vorige eeu, David Hilbert het 'n lys wat bestaan uit 23 onopgeloste probleme van wiskunde. Werk op hulle het 'n geweldige impak op die ontwikkeling van hierdie gebied van menslike kennis gehad. Na 100 jaar in die Clay Wiskundige Instituut het 'n lys van sewe probleme, wat bekend staan as die Millennium doelwitte. Vir die beslissing van elkeen van hulle is die prys van $ 1.000.000 aangebied word.

Die enigste probleem wat was een van die twee lyste van legkaarte, vir eeue nie rus gee aan wetenskaplikes, is die Riemann-hipotese. Sy is nog steeds wag vir sy besluit.

Kort biografiese inligting

Georg Friedrich Bernhard Riemann is gebore in 1826 in Hanover, in 'n groot familie van 'n swak predikant, en het net 39 jaar oud. Hy het daarin geslaag om 10 vraestelle publiseer. Maar tydens die lewe van Riemann beskou hy 'n opvolger van sy onderwyser Johann Gauss. Op 25 jaar verdedig jong wetenskaplike sy tesis "Grondslae van die teorie van funksies van 'n komplekse veranderlike." Later geformuleer hy sy hipotese, wat bekend geword het.

primes

Wiskunde het gekom toe die mens geleer het om te tel. Toe staan die eerste idee van die nommers, wat later probeer om te klassifiseer. Dit is waargeneem dat sommige van hulle het gemeen eienskappe. In die besonder, onder die natuurlike getalle m. E. Daardie wat gebruik is in die berekening (nommers) of die aangewese aantal items toegeken is 'n groep van so wat is verdeel net deur een en hulself. Hulle is eenvoudig genoem. 'N elegante bewys van die stelling oneindige versameling getalle gegee deur Euclides in sy "elemente". Op die oomblik is, is ons die voortsetting van hul soektog. In die besonder, die grootste van 'n aantal bekende ² 74207281 - 1.

Euler se formule

Saam met die idee van oneindig baie primes Euclid gedefinieer en die tweede stelling die enigste moontlike faktorisering. Volgens dit enige positiewe heelgetal is die produk van net een stel primes. In 1737, die groot Duitse wiskundige Leonhard Euler uitgedruk in die eerste plek stelling Euclides se op die oneindigheid van die onderstaande formule.

Dit staan bekend as die zeta funksie, waar s - 'n konstante en p is al eenvoudige waardes. Van dit direk gevolg en goedkeuring van die uniekheid van die uitbreiding van Euclides.

Riemann zeta funksie

Euler se formule By nadere ondersoek is nogal merkwaardig, soos gegee deur die verhouding tussen die eenvoudige en heelgetalle. Na alles, in haar linkerkant vermenigvuldig oneindig baie uitdrukkings wat net afhang van eenvoudige, en in die regte hoeveelheid is wat verband hou met al positiewe heelgetalle.

Riemann het Euler. Met die oog op die sleutel tot die probleem van die verspreiding van die nommers te vind, is dit voorgestel dat die formule te definieer vir beide die werklike en komplekse veranderlike. Dit was sy wat later bekend geword het as die Riemann zeta funksie. In 1859 verskyn die wetenskaplike 'n artikel getiteld "Op die aantal priemgetalle wat nie 'n voorafbepaalde waarde oorskry nie", wat al hul idees opgesom.

Riemann voorgestel dat die gebruik van 'n aantal van Euler, konvergente vir alle reële s> 1. As dieselfde formule gebruik word vir 'n komplekse s, dan sal die reeks konvergeer vir enige waarde van die veranderlike met die werklike deel is groter as 1. Riemann gebruik die analitiese voortsetting van die proses deur die uitbreiding van die definisie van zeta (s) vir alle komplekse getalle, maar eenheid "gooi". Dit was nie moontlik nie, want as S = 1 zeta funksie styg tot oneindigheid.

praktiese sin

Die vraag ontstaan: wat is interessant en belangrik zeta funksie, wat noodsaaklik is in die werk van Riemann op die nulhipotese? Soos u weet, op die oomblik nie gevind 'n eenvoudige patroon wat die verspreiding van priemgetalle tussen die natuurlike beskryf. Riemann in staat om op te spoor wat die aantal pi (x) van priemgetalle, wat nie beter is as x is, word uitgedruk deur die verspreiding van triviaal nul zeta funksie. Verder het die Riemann Hipotese is 'n noodsaaklike voorwaarde om tydelike evaluering van sekere kriptografiese algoritmes te bewys.

Die Riemann-hipotese

Een van die eerste formulerings van hierdie wiskundige probleem, nie bewys tot vandag toe, is: triviale 0 zeta funksie - komplekse getalle met ware deel gelykstaande aan ½. Met ander woorde, hulle gereël op 'n reguit lyn Re s = ½.

Daar is ook 'n algemene Riemann-hipotese, wat dieselfde stelling, maar vir veralgemening van die zeta-funksies, wat die Dirichlet geroep (sien. Foto hieronder) L-funksies.

In die formule χ (N) - 'n numeriese karakter (mod k).

verklaring Riemann se is die sogenaamde nulhipotese, soos reeds geverifieer vir konsekwentheid met die bestaande voorbeeld van die data.

As ek aangevoer Riemann

Nota Duitse wiskundige was oorspronklik geformuleer heeltemal ongeërg. Die feit is dat in daardie tyd die wetenskaplike gaan 'n stelling oor die verspreiding van priemgetalle te bewys, en in hierdie konteks, beteken hierdie hipotese nie veel effek hê. Maar sy rol in die aanspreek van die vele ander kwessies is enorm. Dit is waarom die Riemann-hipotese vir nou baie wetenskaplikes erken die belangrike van onbewese wiskundige probleme.

Soos reeds gesê, om die stelling te bewys op die verspreiding van die volle Riemann-hipotese is nie nodig nie, en heel logies bewys dat die ware deel van enige nie-triviale nul van die zeta funksie is tussen 0 en 1. Hierdie eiendom impliseer dat die som van al 0-m zeta funksie wat bo in die presiese formule verskyn, - eindige konstante. Vir groot waardes van x, kan dit alles verloor. Die enigste lid van die formule, wat onveranderd selfs teen 'n baie hoë x sal bly, x is self. Die res van die kompleks terme in vergelyking met dit asimptoties verdwyn. So, die geweegde som geneig om x. Hierdie feit kan beskou word as 'n bewys van die waarheid van priemgetal stelling. So, die nulle van die Riemann zeta funksie verskyn 'n spesiale rol. Dit is om te bewys dat hierdie waardes nie beduidend kan bydra tot die uitbreiding formule.

Riemann volgelinge

Die tragiese dood aan tuberkulose verhoed dat die wetenskaplike bring om die logiese einde van die program. Maar, het hy die leiding van die W-F. de la Vallée Poussin en Zhak Adamar. Onafhanklik van mekaar hulle priemgetal stelling teruggetrek. Hadamard en Poussin daarin geslaag om te bewys dat alle triviaal 0 zeta funksie is geleë binne die kritieke band.

Te danke aan die werk van hierdie wetenskaplikes, 'n nuwe tak van wiskunde - analitiese teorie van getalle. Later, het ander navorsers 'n bietjie meer primitief bewys van die stelling is besig om in Rome ontvang. In die besonder, Pal Erdös en Atle Selberg oopgemaak het selfs bevestig sy hoogs komplekse ketting van logika, die gebruik van komplekse analise nie vereis. Maar op hierdie punt die idee van Riemann deur verskeie belangrike stellings is bewys, insluitend die aanpassing van die vele funksies van getalleteorie. In verband met hierdie nuwe werk Erdös en Atle Selberg nie feitlik enigiets geraak.

Een van die eenvoudigste en mees pragtige getuienis van die probleem is gevind in 1980 deur Donald Newman. Dit is gebaseer op die bekende Cauchy stelling.

Gedreig as Riemann se hipotese is die basis van die moderne kriptografie

Data-enkripsie na vore gekom met die verskyning van karakters, of liewer, kan hulle hulself as die eerste-kode beskou word. Op die oomblik is, is daar 'n hele nuwe tendens van digitale kriptografie, wat betrokke is by die ontwikkeling van enkripsie-algoritmes.

Eenvoudige en "Semisimple" nommer m. E. Daardie wat net is verdeel in twee ander getalle van dieselfde klas, is die basis van 'n publieke sleutel stelsel, bekend as RSA. Dit het 'n wye toepassing. In die besonder, is dit gebruik in die opwekking van 'n elektroniese handtekening. As ons praat in terme van die beskikbare "teepot", die Riemann-hipotese beweer die bestaan van die stelsel in die verspreiding van priemgetalle. So, aansienlik verminder weerstand van kriptografiese sleutels, waarop die veiligheid van aanlyn-transaksies hang in e-handel.

Ander onopgeloste wiskundige probleme

Volledige artikel is die moeite werd om wy 'n paar woorde om ander take van die millennium. Dit sluit in:

• Gelykheid van klasse P en NP. as 'n positiewe antwoord op 'n gegewe vraag is geverifieer in polinoom tyd, is dit waar dat hy homself die antwoord op hierdie vraag kan vinnig gevind word: die probleem is as volg geformuleer?
• Hodge vermoede. In eenvoudige terme kan dit as volg gestel word: vir 'n paar vorme van projektiewe algebraïese manifoldsets (ruimtes) Hodge siklusse is kombinasies van voorwerpe wat 'n meetkundige interpretasie, naamlik algebraïese siklusse het ...
• Poincare vermoede. Dit is die enigste bewys op die oomblik millennium probleme. Volgens dit enige driedimensionele voorwerp met spesifieke eienskappe van die 3-dimensionele sfeer, moet die gebied akkuraat tot vervorming wees.
• Goedkeuring van die kwantum Yang - Mills teorie. Ons moet dit kwantumteorie bewys, na vore gebring deur die wetenskaplikes om die ruimte R ^4, is daar 'n 0-massa defek vir enige eenvoudige kalibrasie van 'n kompakte groep G.
• Die hipotese van die Birch - Swinnerton-Dyer. Dit is nog 'n probleem wat relevant is vir Kriptografie is. Dit het betrekking op die elliptiese kurwes.
• Die probleem van die bestaan en gladheid van oplossings van die Navier - Stokes vergelykings.

Nou weet jy die Riemann-hipotese. In eenvoudige terme, het ons geformuleer en 'n paar van die ander doelwitte van die millennium. Die feit dat hulle opgelos sal word of dit bewys dat hulle geen oplossing nie - dit is 'n kwessie van tyd. En dit is onwaarskynlik dat daar te lank te wag, as die wiskunde toenemend gebruik rekenkracht van rekenaars. Maar nie alles is onderworpe aan die kuns en om wetenskaplike probleme op te los vereis in die eerste plek intuïsie en kreatiwiteit.