Boole algebra. algebra van logika. Elemente van wiskundige logika

In vandag se wêreld is ons toenemend met behulp van 'n verskeidenheid van masjiene en toestelle. En nie net wanneer dit nodig is om letterlik bomenslike krag van toepassing is: beweeg die las om dit in te samel om die hoogte, grawe lank en diep sloot, ens motors vandag versamel robots, is kos gaar Multivarki en elementêre rekenkunde berekeninge produseer sakrekenaars ... Meer en meer dikwels hoor ons die term "Boole-algebra". Miskien het dit tyd geword om die rol van die mens in die skepping van robots en masjiene verstaan die vermoë om op te los nie net wiskundige, maar ook logiese probleme.

logika

In die Griekse logika - 'n geordende stelsel van denke wat die verhouding tussen die gegewe omstandighede skep en laat jou toe om afleidings gebaseer op aannames en skattings maak. Dikwels vra ons mekaar: "Dit is logies om te" Die antwoord bevestig ons aannames of kritiseer die gedagtegang. Maar die proses stop nie daar nie: ons voortgaan om te praat.

Soms is die aantal toestande (insette) is so 'n groot, en die verhouding tussen hulle is so verwarrend en ingewikkeld dat die menslike brein is nie in staat om "verteer" alles op een slag. Jy kan meer as een maand (week, jaar) nodig vir die begrip van wat gebeur. Maar die moderne lewe gee nie vir ons hierdie keer met tussenposes om besluite te neem. En ons wend na die hulp van rekenaars. En dit is hier waar daar is 'n algebra en logika, met sy wette en eienskappe. Na die aflaai van al die oorspronklike data, laat ons die rekenaar om alle verhoudings te herken, te teenstrydighede uit te skakel en om 'n bevredigende oplossing te vind.

Wiskunde en logika

Beroemde Gotfrid Vilgelm Leybnits geformuleer die konsep van "wiskundige logika", wat take was maklik om net 'n klein sirkel van geleerdes verstaan. Van besondere belang is die rigting het nie veroorsaak, en tot in die middel van die XIX eeu van wiskundige logika bekend deur 'n paar.

Die groot belangstelling in die wetenskaplike gemeenskap het 'n dispuut waarin die Engelsman Dzhordzh Bul verklaar sy voorneme om 'n tak van wiskunde te vestig, sonder absoluut geen praktiese gebruik veroorsaak. Soos ons weet uit die geskiedenis, in hierdie tyd aktief die ontwikkeling van industriële produksie, alle vorme van hulp masjiene ontwikkel ons, het t. E. Alle wetenskaplike ontdekkings n praktiese oriëntasie het.

Wat die toekoms betref, sê ons dat 'n Boolese algebra - die mees gebruikte in die wêreld vandag deel van wiskunde. Sodat jou argument Buhl verloor.

Dzhordzh Bul

Die persoonlikheid van die skrywer verdien spesiale aandag. Selfs gegewe die feit dat in die afgelope mense grootgeword voor ons nog moet daarop gelet word dat in die 16 jaar van John. Buhl geleer by die dorp skool, en tot 20 jaar het sy eie skool in Lincoln. Wiskundige perfek bemeester vyf vreemde tale, en in sy vrye tyd, was die lees van die werke van Newton en Lagrange. En dit alles - op seun 'n gewone werker se!

In 1839, Buhl het sy eerste wetenskaplike artikels in die Cambridge Wiskundige Journal. Wetenskaplike draai 24 jaar. werk Boole se is so belangstel lede van die Royal Society, in 1844 het hy 'n medalje ontvang vir sy bydrae tot die ontwikkeling van wiskundige analise. 'N Paar gepubliseerde artikels waarin die elemente van wiskundige logika, wiskunde toegelaat word om die jong om die pos van professor in die Kollege van Cork County neem beskryf. Onthou dat by die baie Boole onderwys was nie.

idee

In beginsel, Boole algebra is baie eenvoudig. Daar is stellings (logiese uitdrukkings) wat, uit die oogpunt van wiskunde, kan slegs in twee woorde omskryf: "ware" of "vals". Byvoorbeeld, bome in die lente blom - die waarheid, in die somer is dit sneeu - 'n leuen. Die skoonheid van wiskunde is dat dit nie streng noodsaaklik om net getalle gebruik. Vir die algebra uitsprake nogal inpas enige verklarings met 'n unieke betekenis.

Dus, kan die algebra van logika letterlik oral gebruik word: in die skedulering en skryf onderrig, ontleding van teenstrydige inligting oor die gebeure en die bepaling van die volgorde van aksies. Die belangrikste ding - om te besef dat dit nie saak maak hoe ons die waarheid of valsheid van state te bepaal. Van hierdie "hoe" en "hoekom" wat jy nodig het om te ignoreer. Wat belangrik is, is slegs 'n verklaring van die feit: die waarheid is 'n leuen.

Natuurlik, die programmering van die belangrikste funksies van die algebra van logika wat aangeteken met gepaste tekens en simbole. En leer hulle - dit beteken om 'n nuwe vreemde taal te leer. Niks is onmoontlik.

Basiese konsepte en definisies

Sonder om in diepte, gaan ons voort met terminologie. So, Boole algebra veronderstel:

• state;
• logiese operasies;
• funksies en wette.

State - enige regstellende uitdrukking wat geïnterpreteer kan word twee-gewaardeer. Dit is beskrywe as getalle (5> 3) of geformuleer bekende woorde (olifant - die grootste soogdier). In hierdie geval, die frase "die kameelperd se nek is nie" het ook 'n reg om te bestaan, net Boole algebra definieer dit as " 'n leuen."

Alle verklarings moet ondubbelsinnig wees, maar hulle mag basiese of mengsel wees. Onlangse gebruik logiese bondel. E. In die algebra state verordeninge mengsel gevorm deur die toevoeging van elementêre logika bedrywighede.

Boole algebra bedrywighede

Ons onthou reeds dat die bedrywighede in die algebra van oordeel - logies. Net soos die algebra van getalle met behulp van die rekenkundige operasies by te voeg, aftrek, of vergelyk getalle, wiskundige logika elemente toelaat om komplekse stellings maak, te ontken of om die finale uitslag bereken.

Logika bedrywighede vir die formalisering en eenvoud deur die formule, bekend aan ons in rekenkundige uitgespreek. Eienskappe van Boole algebra vergelykings maak dit moontlik om aan te teken en bereken die onbekende. Logiese operasies word gewoonlik aangeteken deur die waarheidstabel. Sy elemente definieer kolomme en rekenaar operasie wat uitgevoer word op hulle, en die rye wys die gevolg van berekeninge.

Basiese logika van aksie

Die mees algemene in die Boole algebra bedrywighede is ontkenning (NIE), en die logiese EN en OF. Dit is dus moontlik om feitlik al die stappe in algebra verordeninge beskryf. Ons bestudeer in detail elk van die drie operasies.

Die ontkenning (nie) is van toepassing op slegs een element (operand). Daarom is die werking bekend as 'n unêre ontkenning. Om die konsep van "nie 'n" die gebruik van sulke simbole te teken: ¬A, A of A !. In tabelvorm dit lyk soos volg:

Die funksie van ontkenning tipies van so 'n verklaring gesê: As A is waar, dan A - vals. Byvoorbeeld, die maan wentel om die Aarde - die waarheid; Aarde wentel om die maan - 'n leuen.

Logiese vermenigvuldiging en toevoeging

Logiese en bedryf staan bekend as 'n samewerking. Wat beteken dit? In die eerste plek, dat dit toegepas kan word om twee operande, dit wil sê, ek - .. Binêre operasie. In die tweede plek is dit net in die geval van die waarheid van beide operande (beide A en B) is waar en die uitdrukking self. Die spreekwoord sê: "Geduld en 'n bietjie moeite" impliseer dat slegs twee faktore kan help om 'n persoon te gaan met die probleme.

simbole word gebruik vir die opname: A∧B, A⋅B of 'n && B.

Samewerking is soortgelyk aan vermenigvuldiging in rekenkundige. Soms en sê - logiese vermenigvuldiging. As jy die elemente van die rye van die tabel vermenigvuldig, kry ons 'n resultaat soortgelyk aan logiese denke.

Disjunksie is 'n logiese OF operasie. Dit is waar indien minstens een van die stellings is waar (A of B). Dit is geskryf soos hierdie: A∨B, A + B of A || B. die waarheidstabel vir hierdie bedrywighede is:

Disjunksie soortgelyke rekenkundige Daarbenewens. logiese toevoeging operasie het net een beperking: 1 + 1 = 1. Maar ons onthou dat in 'n digitale formaat is beperk tot wiskundige logika 0 en 1 (waar 1 - die waarheid, 0 - valse). Byvoorbeeld, die verklaring "in die museum jy 'n meesterstuk kan sien of vind 'n goeie maatskappy" beteken wat jy kunswerke kan sien, en dit is moontlik om 'n interessante persoon ontmoet. Terselfdertyd, sluit nie uit die moontlikheid van gelyktydige vervulling van beide gebeurtenisse.

Funksies en wette

So, ons weet reeds wat die logiese operasie met behulp van Boole algebra. Funksies te beskryf al die eienskappe van die elemente van wiskundige logika, en ons in staat stel om komplekse mengsel state te vereenvoudig. Die meeste duidelike en eenvoudige lyk verwerping eiendom van die afgeleide bedrywighede. Deur afgeleide instrumente verstaan XOR, implikasie en ekwivalensie. As ons net met die basiese bewerkings gelees het, en dan is ook die eiendom slegs oorweeg hulle.

Associativity beteken dat in die state soos "beide A en B, en B 'n reeks lys van die operande maak nie saak. Die formule is soos volg geskryf:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Soos jy kan sien, dit is nie uniek aan die samewerking, maar 'n disjunksie.

Kommutatiwiteit argumenteer dat die uitslag van die samewerking of ontwrigting is nie afhanklik van watter item was beskou as aan die begin:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributiwiteit kan openbaar hakies in komplekse logiese uitdrukkings. Reëls is soortgelyk aan die opening hakies in die vermenigvuldiging en toevoeging in algebra:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Eenheid eienskappe en krap, wat kan wees een van die operande is ook soortgelyk aan die algebraïese vermenigvuldiging deur nul of een, en byvoeging van 'n eenheid:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency sê vir ons dat as relatief twee gelyke operande die gevolg van die operasie is dieselfde, kan jy "gooi" die oortollige bemoeilik redenasie operande. En die samewerking en disjunksie bedrywighede is idempotente.

B∧B = B; B∨B = B.

Verkryging kan ook ons die vergelyking vereenvoudig. Absorpsie bepaal dat wanneer die uitdrukking is van toepassing op een operand, nog 'n operasie met dieselfde element van die resultaat operand absorbeer operasie.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

volgorde van bedrywighede

Die volgorde van bedrywighede is van groot belang. Eintlik, as vir algebra, daar is 'n prioriteit funksie wat 'n Boolese algebra gebruik. Formules kan vereenvoudig word net onderhewig aan die betekenis van die bedrywighede. Posisie van die belangrikste tot telekommunikasie, kry ons die volgende volgorde:

1. Ontkenning.

2. verbindingswoord.

3. Die disjunksie, XOR.

4. Die implikasie, ekwivalensie.

Soos jy kan sien, net die ontkenning van die samewerking en moenie gelyk prioriteit nie. A prioriteit van die ontwrigting en XOR gelyk, sowel as die prioriteite van implikasie en ekwivalensie.

Funksies van implikasie en ekwivalensie

Soos ons gesê het, bykomend tot die basiese logiese operasies, wiskundige logika en teorie van algoritmes gebruik van afgeleide instrumente. Dit is gewoonlik die implikasie en ekwivalensie.

Die implikasie of logiese gevolg - hierdie stelling, in watter een aksie is 'n toestand, en die ander - die gevolg van die implementering daarvan. Met ander woorde, hierdie voorstel met die voorwendsel van "as ... dan". "Na ete kom die afrekening." E. Vir ry om strenger op die slee heuwel. As daar geen begeerte om te beweeg van die berg getrek, maar dan sleep die slee is nie nodig nie. Is so geskryf: A → B of A⇒B.

Ekwivalensie beteken dat die netto effek kom slegs wanneer beide operande is waar. Byvoorbeeld, nag gee pad na dag dan (en slegs dan), wanneer die son opkom oor die horison. In die taal van wiskunde logika van hierdie stelling is geskryf as A≡B, A⇔B, A == B.

Ander wette van Boole algebra

Algebra oordeel ontwikkel, en baie belangstel wetenskaplikes om nuwe wette te formuleer. Die mees bekende beskou postuleer Skotse wiskundige O. De Morgan. Hy het opgemerk en het 'n definisie van sulke eiendomme so naby ontkenning, optel en dubbel negatief.

Close ontkenning dui daarop dat voor die hakies is geen ontken: nie (A of B) = nie A of B nie

Wanneer die operand ontken, ongeag die waarde daarvan, sê benewens:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

En ten slotte, die dubbele ontkenning self vergoed. dit wil sê voor óf operand ontkenning verdwyn of bly net een.

Hoe om toetse op te los

Logika impliseer vereenvoudiging voorafbepaalde vergelykings. Net soos in die Lê algebra, is dit nodig om maksimaal te fasiliteer eerste voorwaarde (om ontslae te raak van ingewikkelde insette bedrywighede, en saam met hulle), dan begin soek na 'n korrekte antwoord.

Wat om te doen om te vereenvoudig? Omskep al die afgeleides in 'n eenvoudige operasie. ontbloot dan al die hakies (of andersom, om die hakies maak om hierdie element te verminder). Die volgende stap moet wees om Boolese algebra eiendomme in die praktyk gebruik (absorpsie eienskappe nul en een, en t.).

Uiteindelik moet die vergelyking bestaan uit 'n minimum aantal onbekendes, gekombineer met 'n eenvoudige operasies. Die maklikste manier om te kyk vir 'n oplossing, as jy 'n groot aantal naby negatiewe maak. Dan sal die antwoord pop-up asof vanself.