Skuins gelyksydige trapezium. Wat is die middellyn van die trapezium. Tipes trapezoids. Sweefstok - dit ..

Sweefstok - 'n spesiale geval van 'n vierkant, waarin een paar kante is parallel. Die term "trapezium" is afgelei van die Griekse woord τράπεζα, wat beteken "tafel", "tafel". In hierdie artikel sal ons kyk na tipes trapeze en sy eienskappe. Ook, kyk ons na hoe om die individuele elemente van die bereken geometriese figuur. Byvoorbeeld, die diagonale van 'n gelyksydige trapezium, die middellyn, area en ander. Die materiaal vervat in die elementêre meetkunde gewilde styl, t. E. In 'n maklik toeganklike wyse.

oorsig

Eerstens, laat ons verstaan wat 'n vierkant. Hierdie syfer is 'n spesiale geval van 'n veelhoek met vier kante en vier hoekpunte. Twee hoekpunte van 'n vierhoek, wat nie aangrensend is, teenoor genoem. Dieselfde kan gesê word van die twee nie-aangrensende kante. Die hooftipes van vierhoeke - 'n parallelogram, reghoek, ruit, 'n vierkant, trapezium en deltoïed.

So terug na die trapeze. Soos ons gesê het, is hierdie syfer die twee kante is parallel. Hulle is bekend as basisse. Die ander twee (nie-parallelle) - die kante. Die materiaal van die onderskeie eksamens en eksamens dikwels kan jy uitdagings wat verband hou met trapezoids wie se oplossing vereis dikwels kennis van die student se nie gedek deur die program te voldoen. Skool Kursus meetkunde stel leerlinge met hoeke eienskappe en hoeklyne asook die middellyn van 'n gelykbenige trapesium. Maar anders as wat verwys na 'n geometriese vorm het ook ander funksies. Maar oor hulle later ...

tipes trapeze

Daar is baie verskillende tipes van hierdie figuur. Maar die meeste dikwels gebruiklik om te oorweeg twee van hulle - gelykbenige en vierkantige.

1. Reghoekige trapezium - 'n figuur in watter een van die kante loodreg op die basis. Sy het twee hoeke is altyd gelyk aan negentig grade.

2. Gelykbenige trapesium - 'n meetkundige figuur wie se sye is gelyk. So, en die hoeke aan die voet ook gelyk.

Die belangrikste beginsels van die metodes vir die bestudering van die eienskappe van die trapezium

Die basiese beginsels sluit in die gebruik van sogenaamde taak aanpak. Trouens, daar is geen rede tot 'n teoretiese kursus meetkunde van nuwe eienskappe van hierdie syfer te tree. Hulle kan tog nou oop wees of in die proses van die formulering van die verskillende take (beter stelsel). Dit is baie belangrik dat die onderwyser weet watter take wat jy nodig het in die voorkant van studente aan te trek op enige gegewe tyd van die leerproses. Verder, kan elke trapezium eiendom voorgestel word as 'n belangrike taak in die taak stelsel.

Die tweede beginsel is die sogenaamde spiraal organisasie van die studie "merkwaardige" trapeze eienskappe. Dit impliseer 'n terugkeer na die proses van leer om die individuele kenmerke van die meetkundige figuur. So, die studente makliker om hulle te onthou. Byvoorbeeld, die eiendom van die vier punte. Dit bewys kan word as in die studie van ooreenkoms en daarna met behulp van vektore. A gelyke driehoeke langs die kante van die figuur, is dit moontlik om te bewys deur gebruik te maak van nie net die eienskappe van driehoeke met gelyke hoogtes gevoer om die kante van wat lê op 'n reguit lyn, maar ook deur die gebruik van die formule S = 1/2 (ab * sinα). Verder is dit moontlik om uit te werk van die wet van sinusse om die ingeskrewe trapesium of reghoekige driehoek en trapezium in t beskryf. D.

Die gebruik van "buitemuurse" beskik oor 'n meetkundige figuur in die inhoud van die skool natuurlik - 'n tasking hul tegnologie onderrig. Konstante verwysing na die eienskappe van die verloop van die ander bestudeer kan studente tot die trapeze dieper leer en verseker die sukses van die taak. So, gaan ons na die studie van hierdie merkwaardige figuur.

Elemente en eienskappe van 'n gelykbenige trapesium

Soos ons opgemerk, in hierdie meetkundige figuur kante gelyk is. Tog is dit bekend as 'n reg trapezium. En wat is dit so merkwaardig en hoekom sy naam gekry het? Die spesiale eienskappe van hierdie figuur vertel dat sy nie net gelyke sye en hoeke by die basis, maar ook skuins. Daarbenewens het die som van die hoeke van 'n gelykbenige trapesium is gelyk aan 360 grade. Maar dis nie al nie! Slegs sowat gelykbenige kan beskryf word deur 'n sirkel van alle bekende trapezoids. Dit is te wyte aan die feit dat die som van teenoorstaande hoeke in hierdie syfer is 180 grade, en net onder hierdie toestand kan beskryf word as 'n sirkel rondom die vierkant. Die volgende eienskappe van die meetkundige figuur is wat die afstand vanaf die top van die basis om die projeksie van die opponerende pieke op die lyn wat bevat hierdie basis sal gelyk wees aan die middellyn wees.

Kom ons kyk na hoe om die hoeke van 'n gelykbenige trapesium vind. Oorweeg 'n oplossing vir hierdie probleem, met dien verstande dat die grootte van die partye bekend figuur.

besluit

Dit is gebruiklik om die vierkant letters A, B, C, D, waar die BS en BP dui - 'n fondament. In 'n gelykbenige trapesium kante gelyk is. Ons aanvaar dat hul grootte is gelyk aan X en Y dimensies is basisse en Z (mindere en groter, onderskeidelik). Vir die berekening van die hoek van die behoefte om te spandeer in die hoogte H. Die resultaat is 'n reghoekige driehoek ABN waar AB - die skuinssy en BN en AN - die bene. Bereken die grootte van been N: trek uit die groter basis minimaal, en die resultaat is gedeel deur 2. Skryf 'n formule: (ZY) / 2 = F. Nou, na die skerphoek van die driehoek gebruik funksie cos bereken. Ons kry die volgende inskrywing: cos (β) = X / F. Bereken nou die hoek: β = Arcos (X / F). Verder, weet die een hoek, kan ons bepaal en tweedens om hierdie basiese rekenkundige operasie maak: 180 - β. Alle hoeke gedefinieer.

Daar is ook 'n tweede oplossing van hierdie probleem. Aan die begin is weggelaat uit die hoek in die hoogte van die been N. word bereken dat die waarde van die BN. Ons weet dat die vierkante van die skuinssy van 'n reghoekige driehoek is gelyk aan die som van die kwadrate van die ander twee kante. Ons kry: BN = √ (X2 F2). Volgende, gebruik ons die trigonometriese funksie OG. Die resultaat is: β = arctg (BN / F). Die skerphoek is gevind. Volgende, definieer ons 'n stomphoek as in die eerste metode.

Die eiendom van die hoeklyne van 'n gelykbenige trapesium

In die eerste plek skryf ons die vier reëls. As die diagonaal in 'n gelykbenige trapesium is loodreg, dan:

- die hoogte van die figuur is gelyk aan die som van basisse, gedeel deur twee;

- sy hoogte en die middellyn gelyk;

- area van die trapezium is gelyk aan die vierkant van die hoogte (middellyn aan die helfte van basisse);

- die vierkant van die hoeklyn van 'n vierkant is gelyk aan die helfte van die bedrag van twee keer die vierkante basisse of middellyn (hoogte).

Nou kyk na die formule definisie van die diagonale 'n gelyksydige trapezium. Hierdie stukkie inligting kan verdeel word in vier dele:

1. Formule skuins lengte deur middel van sy kant.

Ons aanvaar dat A - 'n laer basis, B - Top, C - gelyke sye, D - skuins. In hierdie geval, kan die lengte soos volg bepaal:

D = √ (C 2 + A * B).

2. Formule vir die diagonaal lengte van die cosinus.

Ons aanvaar dat A - 'n laer basis, B - Top, C - gelyke sye, D - skuins, α (by die laer basis) en β (die boonste basis) - trapezium hoeke. Ons kry die volgende formule, deur watter een die lengte van die diagonaal kan bereken:

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosα);

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosα).

3. Formula skuins lengte van 'n gelykbenige trapesium.

Ons aanvaar dat A - 'n laer basis, B - boonste, D - skuins, M - middellyn H - hoogte, P - area van die trapezium, α en β - die hoek tussen die hoeklyne. Bepaal die lengte van die volgende formules:

- D = √ (M2 + N2);

- D = √ (H 2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M * N / sinα).

Vir hierdie geval, die gelykheid: sinα = sinβ.

4. Formule skuins lengte deur die kante en hoogte.

Ons aanvaar dat A - 'n laer basis, B - Top, C - kante, D - skuins, H - hoogte, α - hoek met die laer basis.

Bepaal die lengte van die volgende formules:

- D = √ (H 2 + (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H 2 + (B + F * ctgα) 2);

- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C2-H2)).

Elemente en eienskappe van 'n vierkantige trapesium

Kom ons kyk na wat belangstel in hierdie geometriese figuur. Soos ons gesê het, ons het 'n vierkantige trapezium twee regte hoeke.

Behalwe die klassieke definisie, daar is ander. Byvoorbeeld, 'n vierkantige trapezium - 'n trapezium waarin die een kant is loodreg op die basis. Of vorm wat by side hoeke. In hierdie tipe van trapezoids hoogte is die span wat loodreg op die basisse. Die middelste lyn - 'n segment wat die middelpunte van die twee kante verbind. Die eiendom van genoemde element is dat dit parallel met die basisse en gelyk aan die helfte van hul som is.

Kom ons kyk na die basiese formules wat die geometriese vorms te definieer. Om dit te doen, ons aanvaar dat A en B - basis; C (loodreg op die basis) en D - kante van die reghoekige trapesium, M - middellyn, α - skerphoek, P - area.

1. Die kant loodreg op die basis, 'n figuur gelyk aan die hoogte (C = N), en is gelyk aan die lengte van die ander sykant A en die sinus van die hoek α 'n groter basis (C = A * sinα). Verder is dit gelyk aan die produk van die raaklyn van die skerp hoek α en die verskil in basisse: C = (A-B) * tgα.

2. Die kant D (nie loodreg op die basis) gelyk is aan die kwosiënt van die verskil van A en B en cosinus (α) of 'n skerp hoek na die private hoogte figure H en sine skerphoek: A = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. Die span wat loodreg op die basis, is gelyk aan die vierkantswortel van die vierkante van die verskil D - die tweede kant - en 'n vierkantige basis verskille:

C = √ (Q2 (A-B) 2).

4. Side 'n Reghoekige trapezium gelyk is aan die vierkantswortel van 'n vierkantige som van 'n vierkantige kant en C basisse geometriese vorm verskil: D = √ (C 2 + (A-B) 2).

5. Die kant C is gelyk aan die kwosiënt van die vierkante dubbel die bedrag van sy basisse: C = P / M = 2P / (A + B).

6. Die area gedefinieer deur die produk M (die middellyn van die vierkantige trapezium) in hoogte of laterale rigting loodreg op die basis: P = M * N = M * C.

7. Posisie C is die kwosiënt van twee keer die vierkantige vorm deur die produk sine skerphoek en die som van sy basisse: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).

8. Formule kant van 'n vierkantige trapesium deur sy skuins, en die hoek tussen hulle:

- sinα = sinβ;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

waar D1 en D2 - skuins van die trapezium; α en β - die hoek tussen hulle.

9. Formule kant deur 'n hoek op die laer basis en ander: A = (A-B) / cosα = C / sinα = H / sinα.

Sedert die trapezium met regte hoeke is 'n besondere geval van die trapezium, die ander formules wat hierdie syfers te bepaal, sal ontmoet en vierkantige.

eienskappe ingeskrewe sirkel

As die toestand word gesê dat in 'n vierkantige trapezium ingeskrewe sirkel, dan kan jy die volgende eienskappe te gebruik:

- die bedrag van die basis is die som van die kante;

- afstand vanaf die top van die reghoekige vorm om die raakvlakke van die ingeskrewe sirkel altyd gelyk;

- hoogte van die trapezium is gelyk aan die kant, loodreg op die basis, en is gelyk aan die deursnee van die sirkel ;

- die sirkel met middelpunt is die punt waar sny halveerlyne van die hoeke ;

- indien die laterale kant van die punt van kontak is verdeel in lengtes N en M, dan die radius van die sirkel is gelyk aan die vierkantswortel van die produk van hierdie segmente;

- vierkant gevorm deur die punte van kontak, die top van die trapezium en die middelpunt van die ingeskrewe sirkel - dit is 'n vierkant, wie se kant is gelyk aan die radius;

- oppervlakte van die figuur is die produk van die rede en die produk van die half-som van basisse op sy hoogtepunt.

soortgelyke trapeze

Hierdie onderwerp is baie nuttig vir die bestudering van die eienskappe van meetkundige figure. Byvoorbeeld, die diagonale split in vier driehoeke trapezium, en is aangrensend aan die basis van die wil, en om die kante - van gelyke. Hierdie stelling kan genoem word 'n eiendom van driehoeke, wat is gebreek trapeze sy hoeklyne. Die eerste deel van hierdie stelling bewys deur die teken van die ooreenkoms van die twee hoeke. Om te bewys die tweede deel is beter om die metode hieronder uiteengesit gebruik.

die bewys

Aanvaar dat die syfer ABSD (AD en BC - die basis van die trapezium) is gebreek diagonale HP en AC. Die snypunt - O. Ons kry vier driehoeke: AOC - by die laer basis, BOS - die boonste basis, ABO en SOD aan die kante. Driehoeke SOD en Bioterugvoer 'n gemeenskaplike hoogte in daardie geval, indien die segmente van BO en OD is hul basisse. Ons vind dat die verskil van hul gebiede (P) gelyk is aan die verskil van hierdie segmente: OWO's / PSOD = BO / ML = K. Gevolglik PSOD = OWO's / K. Net so is die driehoeke AOB en Bioterugvoer 'n gemeenskaplike hoogte. Aanvaar vir hul base segmente SB en OA. Ons kry OWO's / PAOB = CO / OA = K en PAOB = OWO's / K. Hieruit volg dit dat PSOD = PAOB.

Om te konsolideer die materiaal studente word aangemoedig om 'n verband tussen die oppervlaktes van driehoeke verkry, wat is gebreek trapeze sy hoeklyne, besluit die volgende taak te vind. Dit is bekend dat driehoeke BOS en ADP gebiede gelyk, is dit nodig om die oppervlakte van 'n trapezium vind. Sedert PSOD = PAOB, dan PABSD OWO's + = PAOD + 2 * PSOD. Van die ooreenkoms van driehoeke BOS en ANM volg wat BO / OD = √ (OWO's / PAOD). Gevolglik OWO's / PSOD = BO / OD = √ (OWO's / PAOD). Kry PSOD = √ (* OWO's PAOD). Dan PABSD OWO's + = PAOD + 2 * √ (PAOD OWO's *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.

eienskappe ooreenkoms

Die voortsetting van hierdie tema ontwikkel, is dit moontlik om te bewys, en ander interessante eienskappe van die trapezoids. So, met die hulp van die ooreenkoms kan bewys die eiendom segment, wat deur die punt wat gevorm word deur die kruising van die hoeklyne van die meetkundige figuur verby, parallel met die grond. Vir hierdie los ons die volgende probleem: dit is nodig om die lengte RK segment wat deur die punt O. Van die ooreenkoms van driehoeke ADP en SPU gaan vind volg dat die AO / OS = AD / BS. Van die ooreenkoms van driehoeke ADP en ASB volg dat AB / AC = PO / AD = BS / (BP + BS). Dit impliseer dat die BS * PO = AD / (AD + BC). Net so, van die ooreenkoms van driehoeke MLC en ABR volg dat OK * BP = BS / (BP + BS). Dit impliseer dat die OC en RC = RC = 2 * BS * AD / (AD + BC). Segment wat deur die kruising punt van die hoeklyne parallel aan die basis en die koppeling van die twee kante, is die kruising punt verdeel in die helfte. Sy lengte - is die harmoniese gemiddelde van rede figure.

Oorweeg die volgende eienskappe van 'n trapezium, wat die eiendom van vier punte genoem. die snypunt van die hoeklyne (D), die kruising van die voortsetting van die kante (E) asook mid-basisse (T en G) altyd lê op dieselfde lyn. Dit is maklik om die ooreenkoms metode bewys. Die gevolglike driehoeke gelykvormig BES en AED, en elke insluitende 'n mediaan ET en DLY verdeel die toppunt hoek E in gelyke dele. Dus, punt E, T en F saamlynig. Net so, op dieselfde lyn word in terme van T, O, en G. Dit volg uit die ooreenkoms van driehoeke BOS en ANM. Vandaar kan ons aflei dat al vier kwartale - E, T, O en F - op 'n reguit lyn sal lê.

Die gebruik van soortgelyke trapezoids, kan aangebied word vir studente om die lengte van die segment (LF), wat die figuur verdeel in twee soos vind. Dit sny moet parallel met die basisse wees. Sedert die ontvang trapezium ALFD LBSF en soortgelyke, die BS / LF = LF / AD. Dit impliseer dat LF = √ (BS * BP). Ons aflei dat die segment wat verdeel in twee trapesium soos, het 'n lengte gelyk aan die geometriese gemiddeld van die lengtes van die basisse vind.

Oorweeg die volgende ooreenkoms eiendom. Dit is gebaseer op die segment wat die trapezium verdeel in twee ewe groot stukke. Aanvaar dat trapeze ABSD segment bestaan uit twee soortgelyke EH. Van die top van B verlaag die hoogte van wat segment bestaan uit twee dele NL - B1 en B2. Verkry PABSD / 2 = (BS + EH) * V1 / 2 = (AP + EH) * B2 / 2 = PABSD (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Volgende komponeer die stelsel, die eerste vergelyking is (BS + NL) * B1 = (BP + NL) * B2 en die tweede (BS + NL) * B1 = (BS + BP) * (B1 + B2) / 2. Dit volg dus dat B2 / B1 = (BS + EH) / (BP + EH) en BS + EH = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1). Ons vind dat die lengte van die trapezium verdeel op twee gelyke, wat gelyk is aan die gemiddelde lengtes van die kwadratiese basisse: √ ((CN2 + aq2) / 2).

ooreenkoms gevolgtrekkings

Dus, het ons bewys dat:

1. Die segment koppeling van die middel van die trapezium by die laterale kante, parallel met BP en BS en BS is die rekenkundige gemiddelde en BP (basis lengte van 'n trapezium).

2. Die bar wat deur die punt O van kruising van die diagonale parallelle AD en BC sal gelyk wees aan die harmoniese gemiddelde getalle BP en BS wees (2 * BS * AD / (AD + BC)).

3. Die segment breek in soortgelyke trapezium het 'n lengte geometriese gemiddelde basisse BS en BP.

4. Die element wat die vorm verdeel in twee ewe groot, beteken 'n lengte vierkante getalle BP en BS.

Om die materiaal en bewustheid van skakeling tussen die segmente van die student te konsolideer is nodig om dit te bou vir die spesifieke trapezium. die kruising van die hoeklyne van die figure - - parallel met die grond wat hy kan die gemiddelde lyn en die segment wat deur die punt gaan maklik vertoon. Maar waar sal die derde en vierde wees? Hierdie reaksie sal die student lei tot die ontdekking van die onbekende verhouding tussen die gemiddelde waardes.

Segment by die middelpunte van die hoeklyne van die trapezium

Oorweeg die volgende eiendom van die figuur. Ons aanvaar dat die segment MK is parallel aan die basisse en verdeel in die helfte skuins. die snypunt staan bekend as die W en S Hierdie segment sal gelyk wees aan die helfte van die verskil rede wees. Laat ons hierdie ondersoek in meer detail. MSH - die gemiddelde lyn van die driehoek ABS, dit is gelyk aan die BS / 2. Minigap - die middellyn van die driehoek DBA, dit is gelyk aan AD / 2. Dan vind ons dat SHSCH = minigap-MSH dus SHSCH = AD / 2-BS / 2 = (AD + BC) / 2.

swaartepunt

Kom ons kyk na hoe om die element vir 'n gegewe geometriese figuur definieer. Om dit te doen, moet jy die basis in teenoorgestelde rigtings uit te brei. Wat beteken dit? Dit is nodig om die basis te voeg tot die boonste bodem - om enige van die partye, byvoorbeeld, na regs. 'N Laer verleng die lengte van die boonste linker. Volgende, maak hulle skuins. Die snypunt van hierdie segment met die middellyn van die figuur is die swaartepunt van die trapesium.

Ingeskrewe en beskryf trapeze

Kom ons lys funksies soos figure:

1. Line kan ingeskryf word in 'n sirkel slegs indien dit is gelykbenig.

2. Rondom die sirkel kan beskryf word as 'n trapezium, met dien verstande dat die bedrag van die lengtes van hul basisse is die som van die lengtes van die kante.

Gevolge van die ingeskrewe sirkel:

1. Die hoogte van die trapezium beskryf altyd gelyk aan twee maal die radius.

2. Die kant van die beskryf trapezium is vanuit die middelpunt van die sirkel loodreg.

Die eerste gevolg is voor die hand liggend, en om te bewys die tweede is nodig om vas te stel wat die hoek van SOD is direkte, dit wil sê, in werklikheid, ook nie maklik wees nie. Maar die kennis van hierdie eiendom kan jy 'n regte driehoek gebruik om probleme op te los.

Nou spesifiseer ons die gevolge vir die gelykbenige trapesium, wat geskrywe is in 'n sirkel. Ons verkry dat die hoogte is die geometriese gemiddelde figuur basisse: H = 2R = √ (BS * BP). Vervulling van die basiese metode van die oplossing van probleme vir trapezoids (die beginsel van twee hoogtes), moet die student die volgende taak op te los. Aanvaar dat BT - die hoogte van die gelykbenige syfers ABSD. Jy moet strek van AT en AP vind. Die toepassing van die bogenoemde, dit sal doen beskryf formule is nie moeilik.

Kom ons verduidelik hoe om die radius van die sirkel te bepaal van die gebied beskryf trapezium. Weggelaat uit die top B hoogte op die basis BP. Sedert die sirkel ingeskrewe in die trapezium, die BS + 2AB = BP of AB = (BS + BP) / 2. Van die driehoek ABN vonds sinα = BN / 2 * AB = BN / (AD + BC). PABSD = (BS + BP) BN * / 2, BN = 2R. Verkry PABSD = (BP + BS) * R, volg dit dat R = PABSD / (AD + BC).

.

Alle formules middellyn trapeze

Nou is dit tyd om te gaan na die laaste item van hierdie geometriese figuur. Ons sal verstaan, wat is die middellyn van die trapezium (M):

1. Deur basisse: M = (A + B) / 2.

2. Na die hoogte, die basis en hoeke:

• M-H = A * (ctgα + ctgβ) / 2;

• M + H = D * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Deur 'n hoogte en skuins hoek therebetween. Byvoorbeeld, D1 en D2 - skuins van die trapesium; α, β - die hoek tussen hulle:

M = D1 * D2 * sinα / 2 H = D1 * D2 * sinβ / 2H.

4. Binne die gebied en hoogte: M = R / N.