Basiese konsepte van waarskynlikheid teorie. Die wette van waarskynlikheidsteorie

Baie mense, wanneer gekonfronteer met die idee van "waarskynlikheidsteorie", bang, dink dat dit iets ondraaglik, baie moeilik. Maar dit is eintlik nie so tragies. Vandag kyk ons na die basiese konsepte van waarskynlikheid teorie, leer om probleme deur konkrete voorbeelde op te los.

wetenskap

Wat is die bestudering van 'n tak van wiskunde as 'n "waarskynlikheidsteorie"? Dit dui daarop patrone van ewekansige gebeure en veranderlikes. Vir die eerste keer die kwessie van Besorgde Wetenskaplikes in die agtiende eeu, toe bestudeer dobbel. Basiese konsepte van waarskynlikheidsteorie - gebeurtenis. Dit is 'n feit wat gestel word deur ervaring of waarneming. Maar wat is ervaring? Nog 'n basiese begrip van die teorie van waarskynlikheid. Dit beteken dat hierdie deel van die omstandighede is nie per ongeluk geskep, en met 'n doel. Met betrekking tot toesig, daar is die navorser homself neem nie deel aan die ervaring nie, maar bloot 'n getuienis vir hierdie gebeure, dit het geen effek op wat gebeur.

gebeure

Ons het geleer dat die basiese konsep van die teorie van waarskynlikheid - die gebeurtenis, maar het nie oorweeg klassifikasie. Almal van hulle is verdeel in die volgende kategorieë:

• Betroubare.
• Onmoontlik.
• Ewekansige.

Maak nie saak wat die geval is, wat dopgehou word of geskep deur die loop van die eksperiment, is hulle geraak word deur hierdie klassifikasie. Ons bied elke tipe ontmoet afsonderlik.

sekere gebeurtenis

Dit is 'n feit waaraan die nodige stel aktiwiteite maak. Ten einde beter te verstaan die essensie, is dit beter om 'n paar voorbeelde gee. Dit is ondergeskik aan die wet en fisika, chemie, ekonomie, en hoër wiskunde. waarskynlikheidsteorie sluit so 'n belangrike konsep as 'n belangrike gebeurtenis. Hier is 'n paar voorbeelde:

• Ons werk en vergoeding ontvang in die vorm van lone.
• Goed verby die eksamen, verby 'n kompetisie vir dit om vergoeding te ontvang in die vorm van toelating tot 'n opvoedkundige instelling.
• Ons het geld belê in die bank, kry hulle terug indien nodig.

Sulke gebeure is waar. As ons al die nodige voorwaardes voldoen, seker wees om die verwagte resultaat te verkry.

onmoontlike gebeurtenis

Nou kyk ons na die elemente van die teorie van waarskynlikheid. Ons bied om te gaan na die verduideliking in die volgende tipes gebeurtenisse - naamlik die onmoontlike. Om mee te begin stipuleer die belangrikste reël - die waarskynlikheid van 'n onmoontlike gebeurtenis is nul.

Van hierdie formulering nie kan afwijking deur probleme op te los. Om voorbeelde van sulke gebeurtenisse te illustreer:

• Water is gevries by 'n temperatuur van plus tien (dis onmoontlik).
• Die gebrek aan elektrisiteit het geen invloed op die produksie (as onmoontlik as in die vorige voorbeeld).

Nog voorbeelde gegee is nie nodig nie, soos hierbo baie duidelik beskryf weerspieël die essensie van hierdie kategorie. Onmoontlike gebeurtenis gebeur nooit tydens die eksperiment onder geen omstandighede.

ewekansige gebeure

Deur die bestudering van die elemente van waarskynlikheidsteorie, moet spesiale aandag gegee word aan die gegee tipe gebeurtenis. Dit is hulle die bestudering van hierdie wetenskap. As gevolg van die ervaring van iets kan gebeur of nie. Daarbenewens het die toets 'n onbeperkte aantal kere kan uitgevoer word. Noemenswaardige voorbeelde sluit in:

• Gooi die munt - dit is 'n ervaring, of toets, verlies van 'n arend - hierdie gebeurtenis.
• die bal trek uit die sak blindelings - toets, is gevang rooi bal - hierdie gebeurtenis en so aan.

Sulke voorbeelde kan 'n onbeperkte aantal wees, maar in die algemeen, is om te verstaan. Om op te som en sistematiseer die verworwe kennis oor die gebeure van 'n tafel. waarskynlikheidsteorie studies net die laasgenoemde soort al aangebied.

wette

Waarskynlikheidsteorie - die wetenskap dat die moontlikheid van verlies van enige gebeurtenis bestudeer. Soos die ander, dit het 'n paar reëls. Die volgende wette van waarskynlikheid teorie:

• Die konvergensie van rye van ewekansige veranderlikes.
• Die wet van groot getalle.

By die berekening van die moontlikheid van 'n komplekse kan gebruik komplekse eenvoudige gebeure vir resultate makliker en vinniger manier te bereik. Dit sal opgemerk word dat die wette van waarskynlikheid teorie maklik bewys kan word met die hulp van 'n paar van die stellings. Ons stel voor om te begin om kennis te maak met die eerste wet.

Die konvergensie van rye van toevalsveranderlikes

Let daarop dat die sameloop van verskeie tipes:

• Die volgorde van toevalsveranderlikes konvergensie in waarskynlikheid.
• Byna onmoontlik.
• RMS konvergensie.
• Konvergensie in verdeling.

So, op die vlieg, is dit baie moeilik om die essensie te verstaan. Hier is definisies wat jou sal help om die onderwerp te verstaan. Om mee te begin die eerste voorkoms. Die volgorde genoem konvergensie in waarskynlikheid, indien die volgende voorwaarde: N benaderings oneindigheid, die gesoek deur die volgnommer is groter as nul en naby aan die eenheid.

Gaan na die volgende siening, byna seker. Hulle sê dat die ry konvergeer byna sekerlik 'n ewekansige veranderlike met N neig na oneindig, en R, neig om 'n waarde naby aan eenheid.

Die volgende tipe - 'n sameloop van RMS. By die gebruik van die SC-leer sameloop van vektor ewekansige prosesse verminder tot die studie van ewekansige koördineer prosesse.

Was die laaste tipe, laat ons kyk kortliks en om direk na die oplossing van probleme. Konvergensie in verdeling het 'n ander naam - "swak", dan verduidelik waarom. Swak konvergensie - is die sameloop van die verspreiding funksie by al die punte van kontinuïteit van die limiet verspreiding funksie.

Maak seker dat jy die belofte hou: swak konvergensie is anders as al die bogenoemde dat die ewekansige veranderlike nie gedefinieer op die waarskynlikheid ruimte. Dit is moontlik omdat die toestand word gevorm uitsluitlik met behulp van verspreiding funksies.

Die wet van groot getalle

Groot helper in die bewys van die wet sal wees stellings van waarskynlikheidsteorie, soos:

• Chebyshev ongelykheid.
• Chebyshev se stelling.
• Veralgemeen Chebyshev stelling.
• Markov-stelling.

As ons kyk na al hierdie stellings, dan kan die kwessie 'n paar dekades van velle neem. Ons het die belangrikste taak - is die toepassing van waarskynlikheidsteorie in die praktyk. Ons bied jou nou en doen dit. Maar voordat ons kyk na die aksiomas van waarskynlikheid teorie, hulle is belangrike vennote in die oplossing van probleme.

aksiomas

Van die eerste, het ons reeds gesien het, wanneer dit gaan oor die onmoontlike gebeurtenis. Kom ons onthou: die waarskynlikheid van 'n onmoontlike gebeurtenis is nul. Byvoorbeeld ons het 'n baie aanskoulike en onvergeetlike: die sneeu val teen 'n lugtemperatuur dertig grade Celsius.

Die tweede is soos volg: 'n sekere gebeurtenis plaasvind met waarskynlikheid eenheid. Nou sal ons wys hoe dit geskryf is met die hulp van wiskundige taal: P (B) = 1.

Derde: 'n ewekansige gebeurtenis kan nie gebeur of nie, maar die moontlikheid is altyd wissel van nul tot een. Hoe nader dit aan eenheid, hoe groter die kans; indien die waarde is naby aan nul, die waarskynlikheid is baie laag. Ons skryf hierdie in wiskundige taal: 0

Kyk na die laaste, die vierde stelling, dit is: die som van die waarskynlikheid van twee gebeurtenisse is gelyk aan die som van hul waarskynlikhede. Skryf wiskundige terme: P (A + B) = P (A) + P (B).

Die aksiomas van waarskynlikheid teorie - dit is 'n eenvoudige reël wat nie moeilik om te onthou sal word. Kom ons probeer om 'n paar probleme, wat gebaseer is op reeds verworwe kennis op te los.

loterykaartjie

In die eerste plek kyk na die eenvoudigste voorbeeld - 'n lotery. Stel jou voor dat jy 'n loterykaartjie vir goeie geluk gekoop. Wat is die waarskynlikheid dat jy ten minste twintig roebels sal wen? Totale sirkulasie is betrokke by 'n duisend kaartjies, waarvan een 'n prys van vyfhonderd roebels, 1000 roebels, en twintig vyftig roebels, en 'n 100-5. Die taak van die teorie van waarskynlikheid op grond van hoe om 'n manier om geluk te vind. Nou saam analiseer ons die besluit bokant die Take oog.

As ons aan te dui deur 'n Prys van vyfhonderd roebels, dan is die waarskynlikheid van A is gelyk aan 0.001. Hoe kry ons? Hoef net die aantal "lucky" kaartjies gedeel deur die totale aantal (in hierdie geval: 1/1000).

In - 'n wins van honderd roebels, sal die waarskynlikheid gelyk aan 0,01 wees. Nou het ons opgetree het in die dieselfde manier as die laaste aksie (10/1000)

C - payoff is twintig roebels. Vind die waarskynlikheid, dit is gelyk aan 0,05.

Die res van die kaartjies wat ons stel nie belang, as hulle prysgeld is minder as wat in die toestand. Toe te pas 'n vierde stelling: Die kans om te wen ten minste twintig roebels is P (A) + P (B) + P (C). Die letter P dui op die waarskynlikheid van oorsprong van die gebeurtenis, het ons in die vorige stappe hulle reeds gevind. Dit bly net om vas te stel die nodige data, die reaksie wat ons kry 0,061. Hierdie nommer sal die antwoord op die vraag van werk wees.

pak kaarte

Probleme op waarskynlikheidsteorie, is daar ook meer kompleks, byvoorbeeld, neem die volgende taak. Voordat jy pak ses en dertig kaarte. Jou taak - om twee kaartjies te trek in 'n ry, sonder vermenging paal, die eerste en tweede kaarte moet aces wees, pas nie saak nie.

Om mee te begin, vind die waarskynlikheid dat die eerste kaart is 'n kampioen, hierdie deel deur vier en ses en dertig. Dit ter syde stel. Ons kry 'n tweede kaart is 'n kampioen met die waarskynlikheid van 335. Die waarskynlikheid van die tweede gebeurtenis hang af van wat hanteer wat ons getrek die eerste een, ons is geïnteresseerd in, dit was 'n kampioen of nie. Hieruit volg dat in die geval hang af van die gebeurtenis A.

Die volgende stap vind ons die waarskynlikheid van gelyktydige implementering, dit wil sê, vermenigvuldig A en B. Hulle werk is soos volg: die waarskynlikheid van een gebeurtenis vermenigvuldig met die voorwaardelike waarskynlikheid van 'n ander, bereken ons, in die veronderstelling dat die eerste gebeurtenis plaasgevind het, dit wil sê, die eerste kaart getrek ons 'n kampioen.

Ten einde al duidelik geword, gee die aanwysing so element as die voorwaardelike waarskynlikheid van die gebeurtenis. Dit word bereken deur die veronderstelling dat gebeurtenis A gebeur. Dit word soos volg bereken: P (B / A).

Ons betuig die oplossing vir ons probleem: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) of P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). Die waarskynlikheid is (4/36) _* ((3/35) / (4/36) word bereken deur af te rond tot die naaste honderdste Ons het: .. _{0,11 * (0,09 / 0,11) =} 0,11 * 0 , 82 = 0.09. die waarskynlikheid dat ons trek uit twee aces in 'n ry is gelyk aan 9/100. die waarde is baie klein, volg dit dat die waarskynlikheid van gebeurtenis voorkoms is baie laag.

vergeet kamer

Ons bied maak 'n paar meer opsies poste wat die teorie van waarskynlikheid bestudeer. Voorbeelde van oplossings van sommige van die mense wat jy gesien het in hierdie artikel, probeer om die volgende probleem op te los: Die seun het vergeet om die telefoonnommer vir die laaste syfer van sy vriend, maar sedert die oproep baie belangrik was, dan begin om af te haal elke beurt. Ons moet die waarskynlikheid dat hy nie meer sou noem as drie keer te bereken. die eenvoudigste oplossing van die probleem, as jy weet wat die reëls, wette en aksiomas van waarskynlikheid teorie.

Voordat jy 'n oplossing sien, probeer om op te los op hul eie. Ons weet dat die laaste syfer kan wees van nul tot nege, vir 'n totaal van tien waardes. Waarskynlikheid telling vereis is 10/01.

Volgende moet ons opsies vir die oorsprong van die gebeure te oorweeg, laat ons aanneem dat die seuntjie raai reg en het die reg, die waarskynlikheid van sulke gebeure is gelyk aan 1/10. Die tweede opsie: die eerste oproep glip, en die tweede teiken. Ons bereken die waarskynlikheid van sulke gebeure: 9/10 vermenigvuldig met 1/9 in die einde wat ons kry as 1/10. Die derde opsie: die eerste en tweede oproep blyk te wees die verkeerde adres, slegs die derde seun was waar hy wou. Bereken die waarskynlikheid van sulke gebeure: 9/10 vermenigvuldig met 8/9 en 1/8, ons kry as gevolg van 1/10. Ander opsies op die toestand van die probleem wat ons nie belangstel, dit bly vir ons af te lê hierdie resultate, op die ou end het ons 'n 3/10. Antwoord: Die waarskynlikheid dat 'n kind nie meer as drie keer, gelyk sou noem tot 0,3.

Kaarte met nommers

Voordat jy nege kaarte, elk van wat 'n aantal geskryf is 1-9, die getalle is nie herhaal word nie. Hulle sit in 'n boks en meng deeglik. Wat jy nodig het om die waarskynlikheid te bereken dat die

• gerol 'n ewe getal;
• 'n twee-syfer.

Voordat jy na die besluit bepaal dat m - is die getal van 'n suksesvolle gevalle en N - is die totale aantal opsies. Kom ons vind die waarskynlikheid dat die getal is selfs. Is nie moeilik om te bereken dat ewe getalle van vier, en dit is ons m, al nege moontlike opsies, dit is, m = 9. Dan is die waarskynlikheid gelyk aan 0,44 of 4/9.

Ons kyk na die tweede geval, die aantal variante van nege, en 'n suksesvolle uitkoms kan glad wees, dit is, 'm nul is. Die waarskynlikheid dat die verlengde card n twee-syfer getal sal bevat, as nul.