Die onbepaalde integraal. Berekening van onbepaalde integrale

Een van die fundamentele dele van wiskundige analise is die integraalrekening. Dit dek 'n baie wye veld van voorwerpe, waar die eerste - dit is die onbepaalde integraal. Posisie dit staan as 'n sleutel wat nog in die hoërskool onthul 'n toenemende aantal vooruitsigte en geleenthede, wat hoër wiskunde beskryf.

voorkoms

Met die eerste oogopslag, blyk dit heeltemal 'n integrale deel moderne, aktuele, maar in die praktyk is dit blyk dat hy terug in 1800 gekom BC. Huis amptelik beskou Egipte as het vroeër getuienis van sy bestaan nie bereik ons. Dit as gevolg van 'n gebrek aan inligting, al die terwyl geposisioneer eenvoudig as 'n verskynsel. Hy bevestig weereens die vlak van wetenskaplike ontwikkeling van die mense van daardie tyd. Ten slotte, is die werke gevind die antieke Griekse wiskundiges, wat dateer uit die 4de eeu vC. Hulle beskryf die metode wat gebruik word waar die onbepaalde integraal, die essensie van wat was om die volume of oppervlakte van 'n kromlynige vorm (drie-dimensionele en twee-dimensionele vlak, onderskeidelik) vind. berekening is gebaseer op die beginsel van verdeling van die oorspronklike figuur in infinitesimale komponente, met dien verstande dat die volume (area) is reeds aan hulle bekend. Met verloop van tyd, die metode het gegroei, Archimedes het dit gebruik om die oppervlakte van 'n parabool te vind. Soortgelyke berekeninge op dieselfde tyd om oefeninge te doen in antieke China, waar hulle was heeltemal onafhanklik van die Griekse mede wetenskap.

ontwikkeling

Die volgende deurbraak in die XI eeu vC het die werk van die Arabiese geleerde geword "wa" Abu Ali al-Basri, wat die grense van gestoot die reeds bekende, is afgelei van die integrale formule vir die berekening van die bedrae van die bedrae en grade uit die eerste tot die vierde, aansoek te doen vir hierdie aan ons bekend induksie metode.
Gedagtes van vandag is bewonder deur die antieke Egiptenare het die ongelooflike monument sonder enige spesiale gereedskap, behalwe vir dié van hul eie hande, maar is nie 'n krag mal wetenskaplikes van die tyd nie minder 'n wonderwerk? In vergelyking met die huidige tye van hul lewens lyk amper primitiewe, maar die besluit van onbepaalde integrale oral afgelei en in die praktyk gebruik word vir verdere ontwikkeling.

Die volgende stap plaasgevind het in die sestiende eeu, toe die Italiaanse wiskundige Cavalieri het onverdeelbare metode, wat opgetel Per Ferma. Hierdie twee persoonlikheid het die grondslag gelê vir die moderne integraalrekening, wat bekend is op die oomblik. Hulle vasgebind die konsepte van differensiasie en integrasie, wat voorheen beskou as 'n selfstandige eenhede. Deur en groot, die wiskunde van daardie tyd was gefragmenteerde deeltjies bevindinge bestaan deur hulself, met 'n beperkte gebruik. Manier om te verenig en vind gemeenskaplike grond was die enigste ware op die oomblik, te danke aan hom, die moderne wiskundige analise het die geleentheid gehad om te groei en te ontwikkel.

Met die verloop van tyd verander alles en die integrale simbool sowel. Deur en groot, is dit aangewese wetenskaplikes wat in sy eie manier, byvoorbeeld, Newton gebruik 'n vierkantige ikoon, wat 'n integreerbare funksie sit, of bloot saam te stel. Dit verskil geduur totdat die Sewentien eeu, toe 'n landmerk vir die hele teorie van wiskundige analise wetenskaplike Gotfrid Leybnits bekendgestel so 'n karakter bekend aan ons. Verlengde "S" is eintlik gebaseer op die brief van die Romeinse alfabet, aangesien dui die som van primitiewes. Die naam van die integrale verkry danksy Jakob Bernoulli, na 15 jaar.

Die formele definisie

Die onbepaalde integraal afhang van die definisie van die primitiewe, sodat ons dit oorweeg in die eerste plek.

Antiderivative - is die inverse funksie van die afgeleide, in die praktyk is dit primitief genoem. Anders: primitief funksie van d - is 'n funksie D, wat is die afgeleide v <=> V '= v. Soek primitief is om die onbepaalde integrale te bereken, en die proses self genoem integrasie.

byvoorbeeld:

Die funksie s (y) = y ^3, en sy primitiewe S (y) = (y ^4/4).

Die versameling van alle primitiewe van die funksie - dit is 'n onbepaalde integrale, aangedui dit soos volg: ∫v (x) dx.

Uit hoofde van die feit dat V (x) - is net 'n paar primitiewe oorspronklike funksie, uitdrukking hou: ∫v (x) dx = V (x) + C, waar C - konstante. Onder die arbitrêre konstante verwys na enige konstante, aangesien sy afgeleide nul is.

eienskappe

Die eiendomme wat besit word deur die onbepaalde integraal, in wese gebaseer op die definisie en eienskappe van afgeleide instrumente.
Dink aan die belangrikste punte:

• integrale afgeleide van die primitiewe is primitief self plus 'n arbitrêre konstante C <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
• afgeleide van die integraal van 'n funksie is die oorspronklike funksie <=> (∫v (x) dx) '= v (x);
• konstant uit geneem uit onder die integrale teken <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, waar k - is arbitrêr;
• integrale, wat uit die som van die identies gelyk is geneem om die som van integrale <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Die laaste twee eienskappe kan afgelei word dat die onbepaalde integrale lineêr. As gevolg van hierdie, ons het: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Om voorbeelde van die vasstelling van oplossings onbepaalde integrale te sien.

Jy moet die integrale ∫ (3sinx + 4cosx) dx vind:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Van die voorbeeld kan ons aflei dat jy nie weet hoe om onbepaalde integrale te los? vind net al die primitiewes! Maar die soektog na die beginsels wat hieronder bespreek word.

Metodes en voorbeelde

Met die oog op die integrale op te los, kan jy terugval op die volgende maniere:

• gereed om voordeel te trek van die tafel neem;
• integrasie deur dele;
• geïntegreer deur die vervanging van die veranderlike;
• 'n opsomming van onder die teken van die ewenaar.

tafels

Die mees eenvoudige en genotvolle wyse. Op die oomblik is, kan wiskundige analise spog nogal uitgebreide tafels, wat die basiese formule van onbepaalde integrale uitgespel. Met ander woorde, daar is templates afgelei aan jou en jy kan net neem voordeel van hulle. Hier is die lys van die hooftafel posisies, wat feitlik elke geval kan vertoon, het 'n oplossing:

• ∫0dy = C, waar C - konstante;
• ∫dy = y + C, waar C - konstante;
• ∫y ^N dy = (y ^{N + 1)} / (N + 1) + C, waar C - 'n konstante en N - nommer verskil van eenheid;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, waar C - konstante;
• ^{∫e y dy = e y + C} , waar C - konstante;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) + C, waar C - konstante;
• ∫cosydy = siny + C, waar C - konstante;
• ∫sinydy = -cosy + C, waar C - konstante;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, waar C - konstante;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, waar C - konstante;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, waar C - konstante;
• ∫chydy = skaam + C, waar C - konstante;
• ∫shydy = chy + C, waar C - konstante.

Indien nodig, maak 'n paar stappe lei integrand 'n tabel oog en geniet die oorwinning. VOORBEELD: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sonde (5x - 2) + C.

Volgens die besluit is dit duidelik dat byvoorbeeld 'n tafel integrand ontbreek vermenigvuldiger 5. Ons voeg dit in parallel met hierdie vermenigvuldiging deur 1/5 tot algemene uitdrukking het nie verander nie.

Integrasie deur Parts

Oorweeg twee funksies - Z (y) en x (y). Hulle moet voortdurend differensieerbaar op sy domein. In een differensiasie eienskappe het ons: d (xz) = xdz + zdx. Integrasie van beide kante, kry ons: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

Herskryf die gevolglike vergelyking, kry ons die formule, wat die metode van integrasie deur dele beskryf: ∫zdx = ZX - ∫xdz.

Hoekom is dit nodig? Die feit dat sommige van die voorbeelde is dit moontlik om te vereenvoudig, kom ons sê, om ∫zdx ∫xdz verminder, indien laasgenoemde is baie naby aan die tabelvorm. Ook, kan hierdie formule meer as een keer gebruik word, vir optimale resultate.

Hoe om onbepaalde integrale te los hierdie manier:

• wat nodig is om ∫ (s + 1) e ^2s ds bereken

∫ (x + ^{1) e 2s ds = {z =} s + 1, dz = ds, y = 1 ^{/ 2de 2s, dy = e 2x} ds} = ((s + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) e ^2s) / 2-e ^2s / 4 + C;

• moet ∫lnsds bereken

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns s + C = s (LNS-1) + C.

die veranderlike vervanging

Hierdie beginsel van die oplossing van onbepaalde integrale is nie minder in aanvraag is as die vorige twee, al is ingewikkeld. Die metode is soos volg: Laat V (x) - die integrale van sekere funksie v (x). In die geval dat in homself integrale in Voorbeeld slozhnosochinenny kom, is maklik deurmekaar raak en gaan op die verkeerde pad oplossings. Om hierdie praktyk verandering van die veranderlike x tot Z, waarin die algemene uitdrukking visueel vereenvoudig terwyl die handhawing van die z afhangende van x te vermy.

In wiskundige terme, dit is soos volg: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), waar x = y ( z) - vervanging. En, natuurlik, die inverse funksie z = y ^-1 (x) volledig beskryf die verhouding en die verhouding van veranderlikes. Belangrike nota - die ewenaar dx noodwendig vervang met 'n nuwe ewenaar dz, aangesien die verandering van veranderlike in die onbepaalde integraal behels dit oral te vervang, nie net in die integrand.

byvoorbeeld:

• ds - moet ∫ (s + 1) / (5 s ² + 2's) vind

Pas die vervanging z = (s + 1) / (s ² + 2's-5). Dan dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. As gevolg hiervan, die volgende uitdrukking, wat baie maklik om te bereken:

∫ (s + 1) / (s ² + 2's-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2's-5 | + C;

• jy moet vind die integrale ∫2 ^s e ^s dx

Om die herskryf in die volgende vorm te los:

^{∫2 s e s ds = ∫ (} 2de) se ds.

Ons dui deur 'n = 2de (vervanging van die argument hierdie stap is nie, is dit nog steeds is), gee ons ons skynbaar ingewikkelde n integrale deel van basiese tabelvorm:

^{∫ (2de) se ds = ∫a} s ds = a s / LNA + C = (2de) s / ln (2de) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + lne) + C = 2 ^s e ^s / (LN2 + 1) + C.

'N opsomming van 'n differensiële teken

Deur en groot, hierdie metode van onbepaalde integrale - die tweelingbroer van die beginsel van die verandering van veranderlike, maar daar is verskille in die proses van registrasie. Kom ons kyk in meer detail.

As ∫v (x) dx = V (x) + C en y = z (x), dan ∫v (y) dy = V (y) + C.

Terselfdertyd moet ons nie vergeet van die triviale integrale transformasies, waaronder:

• dx = d (x + a), en waarin - elke konstante;
• dx = (1 / a) d (ax + b), waar 'n - konstante weer, maar nie nul;
• xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

As ons kyk na die algemene geval waar ons bereken die onbepaalde integrale, kan voorbeelde word onderskeidelik onder die algemene formule w '(x) dx = dw (x).

voorbeelde:

• moet vind ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (Coss) / Coss = -ln | Coss | + C.

Online hulp

In sommige gevalle, kan die skuld van wat geword of luiheid, of 'n dringende behoefte, kan jy die aanlyn instruksies te gebruik, of liewer, om 'n sakrekenaar te gebruik onbepaalde integrale. Ten spyte van die oënskynlike ingewikkeldheid en omstrede aard van die integrale, die besluit is onderhewig aan hul spesifieke algoritme, wat gebaseer is op die beginsel van "as jy dit nie doen nie ... dan ...".

Natuurlik sal 'n besonder ingewikkelde voorbeelde van so 'n sakrekenaar nie bemeester, want daar is gevalle waar 'n besluit het om uit te vind 'n kunsmatig "gedwing" deur die instelling van sekere elemente in die proses, want die resultate is voor die hand liggend maniere om te bereik. Ten spyte van die omstrede aard van hierdie stelling, dit is waar, as die wiskunde, in beginsel, 'n abstrakte wetenskap, en sy hoofdoelwit van mening dat die behoefte om die grense te bemagtig. Inderdaad, vir 'n gladde aanloop in die teorieë is baie moeilik om te beweeg en te ontwikkel, so moenie aanneem dat die voorbeelde van die oplossing van onbepaalde integrale, wat aan ons gegee het - dit is die hoogte van geleenthede. Maar terug na die tegniese kant van die saak. Ten minste tot die berekeninge te kontroleer, kan jy die diens waarin dit vir ons geskryf is gebruik. As daar 'n behoefte vir 'n outomatiese berekening van komplekse uitdrukkings, dan sal hulle nie hoef te wend om 'n meer ernstige sagteware. Moet aandag gee in die eerste plek op die omgewing Matlab.

aansoek

Die besluit van onbepaalde integrale met die eerste oogopslag lyk heeltemal los van die werklikheid, want dit is moeilik om die voor die hand liggend gebruik van die vliegtuig sien. Inderdaad, direk gebruik waar jy kan nie, maar hulle is 'n noodsaaklike intermediêre element in die proses van onttrekking van oplossings in die praktyk gebruik. So, die integrasie van terug differensiasie, dus aktief deel te neem aan die proses van die oplossing van vergelykings.
Op sy beurt het hierdie vergelykings het 'n direkte impak op die besluit van meganiese probleme, trajek berekening en termiese geleidingsvermoë - in kort, alles wat die huidige en die vorming van die toekoms vorm. Onbepaalde integrale, voorbeelde van wat ons hierbo bespreek het, net triviale met die eerste oogopslag, as 'n basis meer en meer nuwe ontdekkings uit te voer.